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9-1 多変数関数のテイラー展開 | |
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[１] n 変数関数 f(x1,x2,･･･,xn) についてのテイラーの定理です。
| 定理
f(x1,･･･,xn) を領域 D で定義された Cr級 [#]のn変数関数とすると，
( ０＜θ＜1 ) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[証明] 略
ほとんどの人にとって重要なのは2変数，3変数の場合なので，それを具体的に書いておきましょう。
[２] ２変数の場合
f(a+h,b+k)＝ f(a,b)
＋ 1 h ∂f(a,b) ＋k ∂f(a,b) 1！ ∂x ∂y ＋ ･････
＋ 1 h2 ∂2f(a,b) ＋2hk ∂2f(a,b) ＋k2 ∂2f(a,b) 2！ ∂x2 ∂x∂y ∂y2
＋ 1 h ∂ ＋k ∂ r f(a+θh,b+θk) r！ ∂x ∂y
⇒
Δf ＝ f(a+h,b+k)−f(a,b)
＝ hfx(a,b)＋kfy(a,b)＋(1/2)[h2fxx(a+θh,b+θk)
＋2hkfxy(a+θh,b+θk)＋k2fyy(a+θh,b+θk)]
[３] ３変数の場合
Δf ＝ f(x+Δx，y＋Δy，z＋Δz)−f(x,y,z)
| ＝ | 1 |  |
Δx | ∂f(x,y,z) | ＋Δy | ∂f(x,y,z) | ＋Δz | ∂f(x,y,z) |  |
| 1！ | ∂x | ∂y | ∂z | ||||||
| ＋ | 1 | |
Δx2 | ∂2f(x,y,z) | ＋Δy2 | ∂2f(x,y,z) | ＋Δz2 | ∂2f(x,y,z) |
| 2！ | ∂x2 | ∂y2 | ∂z2 |
| ＋2ΔxΔy | ∂2f(x,y,z) | ＋2ΔyΔz | ∂2f(x,y,z) | ＋2ΔzΔx | ∂2f(x,y,z) | |
|
| ∂x∂y | ∂y∂z | ∂z∂x |
＋ ･････
| ＋ | 1 | |
Δx | ∂ | ＋Δy | ∂ | ＋Δz | ∂ | |
r | f(x＋θΔx, y＋θΔy, z＋θΔz) |
| r！ | ∂x | ∂y | ∂z |
[１] ３次元ユークリッド空間での距離 r の逆数 r -1
f(x,y,z) ＝ (x2＋y2＋z2)-1/2
のテイラー展開は応用上，非常に重要です。 ２次の展開項まで丁寧に求めてみましょう。
f(x,y,z) ≡ f(r)， f(x+Δx，y+Δy，z+Δz) ≡ f(r;Δr )
と書くことにします。すると，テイラーの展開は
f(r＋Δr)−f(r )
＝ fx(r )Δx＋fy(r )Δy＋fz(r )Δz
＋(1/2)[fxx(r )Δx2＋fyy(r )Δy2＋fzz(r )Δz2
＋2{fxy(r )ΔxΔy＋fyz(r )ΔyΔz＋fzx(r )ΔzΔx }]
＋(1/3!)[･･･]
＋ ････
[２] ここで，それぞれの微分，
fx(r) ＝ (-1/2)(x2＋y2＋z2)-3/2(2x)＝−x(x2＋y2＋z2)-3/2
fy(r) ＝ (-1/2)(x2＋y2＋z2)-3/2(2y)＝−y(x2＋y2＋z2)-3/2
fz(r) ＝ (-1/2)(x2＋y2＋z2)-3/2(2z)＝−z(x2＋y2＋z2)-3/2
及び，
fxx(r) ＝ -(x2＋y2＋z2)-3/2＋3x2(x2＋y2＋z2)-5/2
fyy(r) ＝ -(x2＋y2＋z2)-3/2＋3y2(x2＋y2＋z2)-5/2
fzz(r) ＝ -(x2＋y2＋z2)-3/2＋3z2(x2＋y2＋z2)-5/2
fxy(r) ＝ 3xy(x2＋y2＋z2)-5/2
fyz(r) ＝ 3yz(x2＋y2＋z2)-5/2
fzx(r) ＝ 3zx(x2＋y2＋z2)-5/2
を代入すると，
f(r＋Δr )−f(r )＝−(xΔx＋yΔy＋zΔz)r-3
＋(1/2)[(3x2-r2)Δx2＋(3y2-r2)Δy2＋(3z2-r2)Δz2
＋6xyΔxΔy＋6yzΔyΔz＋6zxΔzΔx]r-5
− ････
同様に
f(r−Δr )−f(r )＝ (xΔx＋yΔy＋zΔz)r-3
＋(1/2)[(3x2-r2)Δx2＋(3y2-r2)Δy2＋(3z2-r2)Δz2
＋6xyΔxΔy＋6yzΔyΔz＋6zxΔzΔx]r-5
− ･･･
きれいに書くと，
多重極子展開および，
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以上，テイラー展開の計算練習でした。
