10-1　中心化群と正規化群
f-denshi.com  更新日：　26/05/23　　タイトルを変更しました。
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１.中心化群

［１］　しばらく抽象的な定義を列挙しますが，すぐわからなくてもそのまま読み進み，そのあとにあげる具体例を見ながら，行きつ戻りつしてください。

中心とは共役[#]の条件をさらに厳しくしたものと見ることができます。つまり，h と a が共役であるというときの g の条件は，”ある g∈G” だったのですが，中心では， ”すべての g∈G” となっているところに注意してください。また，

［証明］　（２） ⇒　[#]

［２］　さらに，G の G自身への両側からの働きを考えたときの固定部分群[#]には特別な名称がついてます。

この用語を用いれば，中心 [#] とは中心化群 C_a＝G　（a と可換な元全体の集合がGと一致) となる a を集めてきたものなのです。

［３］　このとき，次の定理が成り立ちます。

［証明］　

これは，7ページで述べた固定部分群と剰余類の軌道に関する定理１の（３） | G |＝| G_m0 |×| G(m₀)| [#]　において，

G-軌道 G(m₀)　　　　 ⇒　共役類 C（a）
固定部分群 G_m0　　⇒　aの中心化群 C_a

としたものです。したがって，証明も同様です。（つまり，Gの働く相手Mを正四面体の頂点ではなく，G自身とする。）

正四面体群A₄について確かめてみると，共役類は前ページで調べたように，，

C(a_k)＝｛a₁，a₂，a₃，a₄｝
C(b_k)＝｛b₁，b₂，b₃，b₄｝；　k = 1,2,3,4
C(h_j)＝｛ h_x，h_y，h_z｝　　 ；　j = x,y,z
C(e)　＝｛e｝

一方，中心化群は，

C_ak＝C_bk＝｛e，a_k，b_k｝；　k = 1,2,3,4
C_hj＝｛e，h_x，h_y，h_z｝　 ；　j = x,y,z
C_e＝　A₄

であるから，

｜C(a_k)｜×｜C_ak｜＝4×3＝12
｜C(b_k)｜×｜C_bk｜＝4×3＝12
｜C(h_j)｜×｜C_hj｜＝3×4＝12
｜C(e)｜×｜C_e｜＝1×12＝12

と確かめられます。

  これまで調べてきた正四面体群A₄の中心Z (A₄)は，単位元 ｛ e ｝ だけです。この e について上記の命題，定理などを具体的に確かめることができますが，これでは簡単に過ぎるので，ここでは他の例として単位元以外にも中心を持つ，結晶点群で C_4v または，4mm と呼ばれる群も調べて見ましょう。(C_4vは正２面体群D₄と同じ群積表です。)

［４］　C_4v は，いわゆるピラミッドの３次元空間内での広義の回転対称操作を取り出した群です。その元の名称と対応する操作は下図のように正方形の底面の４つの頂点の動きで分類することができます。

ここで，σ_j というのは鏡映対称と呼ばれる変換で，下図の水色の線上に鏡をこの（モニタの）画面に垂直において鏡写ししたものとなります。その群表は下のようになります。

e	c1	c2	c3
σx	σy	σd	σd’

C_4v の群表

［５］　背景が白い部分を見ると，c₂　はすべての元 g∈C_4v　と可換であることがわかります。このような元は他には単位元 e しかありません。したがって，

（１）　群 C_4v の中心 [#] は，部分群：Z (C_4v)＝｛e，c₂ ｝ となります。

X･Y	e	c2
e	e	c2
c2	c2	e

また，Z (C_4v)の部分群，｛e，c₂ ｝，{ e }　はC_4vの正規部分群です。⇒　[#}

（２）　これ以外にも自明でない部分群としては，

｛e，σ_x ｝，｛e，σ_y ｝，
｛e，σ_d ｝，｛e，σ_d’｝，
｛e，c₁，c₂，c₃ ｝，｛e，c₂，σ_x，σ_y｝，｛e，c₂，σ_d，σ_d’｝

が存在します。

（３）　共役類 [#] は，

　　｛e｝，｛c₂｝，｛c₁，c₃｝，｛σ_x，σ_y｝，｛σ_d，σ_d’｝

であって，C_4v は５つの共役類に分割されています。

［６］　たとえば，c₁，c₃ が共役 [#]であることは次のような計算結果から，

g＝	e	c1	c2	c3	σx	σy	σd	σd’
g-1＝	e	c3	c2	c1	σx	σy	σd	σd’
g･c1g-1＝	c1	c1	c1	c1	c3	c3	c3	c3
g･c3g-1＝	c3	c3	c3	c3	c1	c1	c1	c1

わかります。つまり，

C（c₁）＝C（c₃）＝｛ c₁，c₃ ｝　　　　←左右の90°回転は同じ仲間

また，共役類は共通部分がない同値類に分類されているので，

｜C4v｜＝

Σ

｜C(a)｜

この関係式は類等式と呼ばれます。

（４）　c₁ の中心化群：　C_c1＝｛ g｜gc₁＝c₁g；　g∈G ｝は c₁ と可換な元を抜き出して，

C_c1＝｛ e，c₁，c₂，c₃ ｝

となります。したがって，　

8＝｜G｜＝｜C（c₁）｜×｜C_c1｜＝　2×4　

なお，c₂ の中心化群は c₂ がすべての C_4v の元と可換なので，C_c2＝｛e，c₁，c₂，c₃，σ_x，σ_y，σ_d，σ_d’｝です。

a　＝	e	c2	c1 ， c3	σx ， σy	σd ， σd’
共役類　C（a）＝	｛e｝	｛c2｝	｛c1，c3｝	｛σx，σy｝	｛σd，σd’｝
中心化群　Ca＝	C4v	C4v	｛ e，c1，c2，c3 ｝	｛e，c2，σx，σy｝	｛e，c2，σd，σd’｝

自明でない中心化群の群表を書いておくと，

これら部分群が可換群であることは一目瞭然ですね。

注意

Gの「部分集合Hの中心化群」（一つの元 a ではなく，集合 H を考える）というものも定義できるが，これはここで述べた固定部分群の拡張というより，次の述べる正規部分群の条件を厳しくしたものです。混乱を避けるために脚注で説明している。

２．正規化群

［１］　中心化群の定義[#]において，元 a∈G の固定部分群を考える代わりに，a → H (Gの部分集合) と置き換えて定義される群を正規化群といいます。

ここで，H はGの任意の部分集合でも構いませんが，重要なのは，H がGの部分群となっているときです。具体例 として，C_4v でみておくと，

（１） 部分群 H＝｛e，σ_x ｝，および，｛e，σ_y ｝の正規化群は，どちらもN (H) ＝｛e，c₂，σ_x，σ_y｝である。
そして，H はN (H)の正規部分群[#]となっている。（N(H)より大きな群はHを正規部分群としない。）

（２） 部分群 H＝｛e，σ_d ｝，および，｛e，σ_d’｝の正規化群は，どちらもN (H) ＝｛e，c₂，σ_d，σ_d’｝である。
そして，HはN (H)の正規部分群[#]となっている。

（３） 部分群 H＝｛e，c₁，c₂，c₃ ｝，｛e，c₂，σ_x，σ_y｝，および，｛e，c₂，σ_d，σ_d’｝の正規化群は，どれもN (H) ＝C_4v である。そして，HはN (H)の正規部分群[#]となっている。

（４） 部分群 H＝｛e，c₂｝の正規化群は，N (H) ＝C_4vである。
そして，H はC_4vでの正規部分群となっています。

ところが，この一部分を抜き出してもH＝｛e，c₂｝を正規部分群とする部分群が以下のとおり存在します。

以上は Hasse図 として次のようにまとめられる。

	｛e，c2 ｝　　　＝＜c2＞ ｛e，σx ｝　　＝＜σx＞ ｛e，σy ｝　　＝＜σy＞ ｛e，σd ｝　　＝＜σd＞ ｛e，σd’｝　　＝＜σd’＞ ｛e，c1，c2，c3 ｝＝<c1> ｛e，c2，σx，σy｝＝<c2，σx> 　　　　　　　　　　　＝<c12，σx> ｛e，c2，σd，σd’｝＝<c2，σd>＝<c12，σd> ｛e，c1，c2，c3，σx，σy，σd，σd’｝＝<c1，σx>
Hasse図　 線は真上の群の正規部分群 (赤線： C4vの正規部分群でもある。)
	生成元による表示

説明文はこちら，　⇒　Appendix　冪零群

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命題１の証明

定理１の証明

C(a)からG/C_aへ同型写像ψ(gag^-1)＝[g] が存在することを示せばよい。

gag^-1∈C(a)，[g]，[h]∈G/C_a　

C_4v＝｛e，c₁，c₂，c₃，σ_x，σ_y，σ_d，σ_d’｝
　　＝｛e，c₁，c₂，c₃，eσ_x，c₂σ_x，c₃σ_x，c₁σ_x｝

正規化群と比較すると，

  N (H) ＝｛ g∈G｜gh＝h'g，^∃h，h'∈H ｝

具体例でどんな違いがあるのか C_4v で比較してみると，

C(H) ⊆ N (H) となっている。

C(H)はN (H)の正規部分群である。

関連項目：

点群で使われる記号　　C_4V

E＝｛E｝；　C₂＝｛C₄²｝；　2C₄＝｛C₄、 C₄³｝；　2σ_v＝｛σ_x、σ_y｝；　2σ_d＝｛σ_d、σ_d’｝

同じ類に属する既約表現のトレースは等しいという重要な性質があります。これを指標と呼びます。

A₄の正規化群

Hasse図　　　直線：真上の部分群の正規部分群，　赤字：A₄の正規部分群