４　ホモロジー群（１）
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１．ホモロジー群の定義

[１]　ホモロジー群 H_q(X) とは，図形 X に対して，

H₀(X) = Z^k0　　k₀：連結な成分の数
H₁(X) = Z^k1　　k₁：ループの数　(=面の境界でない閉曲線)　　　
H₂(X) = Z^k2　　k₂：閉曲面に囲まれる空洞の数　(=立体の境界でない閉曲面)　
　　：
H_q(X) = R^kq  　k_q：q次元の「空洞」の数

という意味を持ちます。この性質が位相不変性を持つために，ある２つの図形 （=｜複体 K｜）が位相同型でないことを示すときにしばしば有用となります。

具体的な計算例として，（１）四面体(３次元），（２）四面体面（２次元），（３）四面体輪（１次元），

のホモロジー群を示しておくと，以下のとおりとなります。

すべての図形は1つの連結成分から構成されており，四面体面にはこの閉曲面に囲まれている空洞が１つあり，向き付け可能であること，また，四面体輪にはループが3つ存在するということなどが分かります。

 (一般的に　H₁(K) は基本群π₁(K，p₀) を可換化したものに等しい。)

［２］　それでは，ホモロジー群の定義，計算に必要な用語を順に説明していきましょう。

まず，q次元鎖群の定義です。

具体的に見ていった方が分かりやすいでしょう。

[３]　複体として，四面体 (Th₃)，-面 (Th₂)，-輪 (Th₁) の有向単体の集合を書いておきます。

K^(Th₃)＝{ <p₀p₁p₂p₃>，
　　　　　　　　<p₁p₂p₃>，<p₀p₂p₃>，<p₀p₁p₃>，<p₀p₁p₂>，
　　　　　　　　　<p₀p₁>，<p₀p₂>，<p₀p₃>，<p₁p₂>，<p₁p₃>，<p₂p₃>，
　　　　　　　　　　<p₀>，<p₁>，<p₂>，<p₃>  }

K^(Th₂)＝{ <p₁p₂p₃>，<p₀p₂p₃>，<p₀p₁p₃>，<p₀p₁p₂>，
　　　　　　　　　<p₀p₁>，<p₀p₂>，<p₀p₃>，<p₁p₂>，<p₁p₃>，<p₂p₃>，
　　　　　　　　　　<p₀>，<p₁>，<p₂>，<p₃>  }

K^(Th₁)＝{ <p₀p₁>，<p₀p₂>，<p₀p₃>，<p₁p₂>，<p₁p₃>，<p₂p₃>，
　　　　　　　　　<p₀>，<p₁>，<p₂>，<p₃>  }

↑　有向複体とでも呼ぶような集合です。

[４]　これらのq次元鎖について，次元ごとに説明していきます。

（１）　q＝0

σ⁰の向きは<p_s>の向きを便宜的に正方向とする有向０単体とし，これにマイナスの符号を付けた−<p_s>は反対の向きをもつと考えます。　　<σ_j⁰> → <p_s>　と書き直す。

このとき，複体Kのすべての ０単体 <p_i >に向きを与えておいて，任意の整数係数 m_i を掛けて足し合わせたものの全体集合，

C₀(K) = { m_s <p_s>｜ m_s∈ Z，<p_s >∈有向０単体) }　　［０次元鎖群］

は加群となります。

四面体であれば，

C₀(Th₃)＝{ m₀<p₀>＋m₁<p₁>＋m₂<p₂>＋m₃<p₃>｜m₀，m₁，m₂，m₃ ∈ Z　}

これは　<p₀>，<p₁>，<p₂>，<p₃>  を基底とする整数係数をもつ３次元ベクトル空間 〜　Z⁴ とみなせます。

（２）　q＝1

Kの1単体σ_j²に対して，| p_sp_t| に対して，p_sからp_tへの向きが与えられるときは，<p_sp_t>と書いて有向１単体とします。  <σ_j¹> → <p_st>

有向１単体σ¹の向きは<p_sp_t>を正方向とすれば，下添字を互換した <p_tp_s>＝−<p_sp_t> を負方向となります。

このとき，複体Kのすべての１単体<p_sp_t >に向きを与えておいて，任意の整数係数 m_st を掛けて足し合わせたものの全体集合，

C₁(K) = { m_st <p_sp_t >｜ m_st ∈ Z，<p_sp_t >∈有向１単体 }　　［1次元鎖群］

は加群となります。四面体であれば，

C₁(Th₃)＝{ n₁<p₁p₂>＋n₂<p₂p₃>＋n₃<p₃p₁>＋n₄<p₀p₁>＋n₅<p₀p₂>＋n₆<p₀p₃>
　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜n₁n₂，n₃，n₄，n₅，n₆ ∈ Z　}

これは　<p₀p₁>，<p₁p₂>，<p₂p₀>  を基底とする整数係数をもつ３次元ベクトル空間 〜　Z⁶ とみなせます。

（３）　q＝2 有向２単体

2次元単体σ²（三角形）の向きは<p_sp_tp_u>の下添え字を置換したとき，

σ2の向き＝		<psptpu>のその偶置換を正方向
		<psptpu>のその奇置換を負方向

とします。<σ_j²> → <p_stu>　（↑逆方向に定義してもよい。）　

有向２単体σ²の向きは<p_sp_tp_u>を正方向とすれば，下添字を互換した <p_tp_sp_u>＝−<p_sp_tp_u> は負方向となります。

その全体集合は，

C₂(K) = { m_stu<p_sp_tp_u>｜ m_stu ∈ Z，<p_sp_tp_u >∈有向２単体 }　　［２次元鎖群］

は加群となります。

四面体面であれば，

C₂(Th₃) ={　m₀<p₁p₂p₃>＋m₁<p₀p₃p₂>+m₂<p₀p₁p₃>＋m₃<p₀p₂p₁>|　m₀，m₁，m₂，m₃ ∈ Z }

これは　<p₁p₂p₃>，<p₀p₃p₂>，<p₀p₁p₃>，<p₀p₂p₁> を基底とする整数係数をもつ４次元ベクトル空間 〜　Z⁴ とみなせます。

（４）　有向 q　(≧3) 単体

q ≧3の複体に対して，σ^qの向きは，<p_sp_t･･･p_q> を基準に，

σqの向き＝		<pspt･･･pq> のその偶置換を正方向
		<pspt･･･pq> のその奇置換を負方向

としておきます。

C_q(K) = { m_st…q<p_sp_t･･･p_q>｜ m_st…q ∈ Z，<p_sp_t･･･p_q>∈有向ｑ単体 }　　［q次元鎖群］

四面体の3次元単体であれば，

C₃(Th₃) = { m<p₀p₁p₂p₃>｜ m ∈ Z　}　

これは　<p₀p₁p₂p₃> を基底とする整数係数をもつ１次元ベクトル空間 〜　Z とみなせます。

[５]　　以上まとめると，

四面体の鎖群

C_k(Th₃)＝{ c^k＝0｜k≧4　}
C₃(Th₃)＝{ c³＝m<p₀p₁p₂p₃>｜m∈Z }
C₂(Th₃)＝{ c²＝m₀<p₁p₂p₃>＋m₁<p₀p₃p₂>＋m₂<p₀p₁p₃>＋m₃<p₀p₂p₁>｜m_k∈Z}
C₁(Th₃)＝{ c¹＝n₁<p₁p₂>＋n₂<p₂p₃>＋n₃<p₃p₁>＋n₄<p₀p₁>＋n₅<p₀p₂>＋n₆<p₀p₃>｜n_j∈Z　}
C₀(Th₃)＝{ c⁰＝d₀<p₀>＋d₁<p₁>＋d₂<p₂>＋d₃<p₃>｜d_k∈Z　}

(　ここで，k＝1,2,3,4，　j＝1,2,3,4,5,6　)

四面体面 Th₂では，C_k (k≧4) に加えてC₃={ 0 }，
四面体輪 Th₁では，C_k (k≧4) に加えてC₃＝C₂＝{ 0 }　となる。次元だけ書いておくと，

K	dim C4(K)	dim C3(K)	dim C2(K)	dim C1(K)	dim C0(K)
四面体	0	1	4	6	4
四面体面	0	0	4	6	4
四面体輪	0	0	0	6	4

[６]　次に q 次元鎖から q-1 次元鎖への境界準同型（写像）と呼ばれる写像を次のように定義ます。

例１

境界の存在する２次元の三角形 σ² の境界準同型は，

∂₂(<p₀p₁p₂>＝(<p₁p₂>−<p₀p₂>＋<p₀p₁>)　

　　　　　　　(　≠0　)

となります。

[７]

例２　境界の存在しない1次元の三角形の輪の１次元鎖の一つ，

c¹＝<p₀p₁>＋<p₁p₂>＋<p₂p₀>

の境界準同型は，

∂₁(c¹)＝∂₁(<p₀p₁>＋<p₁p₂>＋<p₂p₀>)
　　　　　＝<p₁>−<p₀>＋<p₂>−<p₁>＋<p₀>−<p₂>)
　　　　　＝0

例３　境界の存在しない四面体面を考えます。

ここで，向きが上のように定められた２次元鎖の一つを，

c²＝<p₁p₂p₃>＋<p₀p₃p₂>＋<p₀p₁p₃>＋<p₀p₂p₁>　　　(　＝∂₃<p₀p₁p₂p₃>　)

とすると，

∂₂(c²)＝∂<p₁p₂p₃>＋∂<p₀p₃p₂>＋∂<p₀p₁p₃>＋∂<p₀p₂p₁>
　　　　　＝　<p₂p₃>−<p₁p₃>＋<p₁p₂>
　　　　　　＋<p₃p₂>−<p₀p₂>＋<p₀p₃>
　　　　　　＋<p₁p₃>−<p₀p₃>＋<p₀p₁>
　　　　　　＋<p₂p₁>−<p₀p₁>＋<p₀p₂>

　　　　　＝<p₂p₃>＋<p₁p₂>＋<p₃p₂>＋<p₂p₁>

　　　　　＝0

が成り立っています。　

一般的に，

∂q(cq)＝0

であるとき，c^q をq次元サイクルといいます。言い換えると，境界が存在しない q次元鎖 c^q を q次元サイクルといいます。

[８]　一般化して，

と定義しておきましょう。先に示した四面体面ならば，

∂₂(c²)　∈　Z₂(Th₂)

ということです。

[９]

任意の　c^q+1∈C_q+1(K)　について，２回続けて境界準同型をとると 0 になる，すなわち，

Im∂_q+1(c^q+1) ⊂　Ker∂_q ⊂　C_q(K)　　　⇔　B_q(K)⊂Z_q(K)⊂C_q(K)

が成り立つということです。

証明は，有向単体の境界準同型の定義式 [*] 式から，∂_q(∂_q+1) によって現れるk番目とｊ番目(j≠k) ２つの点を除いた　<p₀p₁…p_k…p_j…p_q>　という２つの項に掛かる符号が k と j のどちらを先に除いて得られたかによって反対となることから分かります。

[10]　この命題より，任意の q＋1次元鎖 c^q+1 の境界準同型∂_q+1(c^q+1) はq次元サイクルとなっている，すなわち，∂_q+1(c^q+1) ∈Ker(∂_q)　です。　そのような q次元サイクルに次のとおり名前を付けておきます。

[11]　以上の定義を用いてホモロジー群の定義を次のように与えることができます。

つまり，加群として，

B_q(K)　⊂　Z_q(K)　⊂C_q(K)

が成り立ちますが，Z_q(K) において B_q(K)＝0　とみなす剰余群をホモロジー群の定義とするということです。

これ定義の意味するところは，

Kのホモロジー群 H_q(K) が { 0 } でなければ，|K|は，

「境界のない ｑ次元図形で， ｑ＋１次元図形の境界になっていない。」

ことが分かります。

[13]

例４　定義に従って下記の図形の輪体群，境界輪体群，ホモロジー群を求めよう。

（１）　四面体，四面体面，四面体輪の場合

C₄(Th₃)＝C₄(Th₂)＝C₄(Th₁)＝{ 0 }　で，準同型写像において単位元は単位元に写るので，

B₃(Th₃)＝B₃(Th₂)＝B₃(Th₁)＝Im∂₄ { 0 }＝{ 0 }　←整数加群の単位元　

（２−１）　四面体の場合

C₃(Th₃)＝{ c³＝m<p₀p₁p₂p₃>｜m∈Z }　なので，

B₂(Th₃)＝Im∂₃c³
∂₃c³＝m(<p₁p₂p₃>−<p₀p₂p₃>＋<p₀p₁p₃>−<p₀p₁p₂>)　・・・[*]　　　

よって，B₂(Th₃) 〜 Z

また，Ker∂₃＝0 となるのは，[*] 式で　m＝0 のときなので，

Z₃(Th₃)＝{ 0 }

（２−２）　四面体面，四面体輪の場合

C₃(Th₂)＝C₃(Th₁)＝{ 0 }　なので，

B₂(Th₂)＝B₂(Th₁)＝Im∂₃{ 0 }＝{ 0 }　

（３−１）　四面体，四面体面の場合

C₂(Th₃)＝C₂(Th₂)
　　＝{ c²＝m₀<p₁p₂p₃>＋m₁<p₀p₃p₂>+m₂<p₀p₁p₃>＋m₃<p₀p₂p₁>｜m_k∈Z，k=0,1,2,3　}

B₁(Th₃)＝B₁(Th₂)＝Im∂₂c²
∂₂c²＝∂(m₀<p₁p₂p₃>＋m₁<p₀p₃p₂>+m₂<p₀p₁p₃>＋m₃<p₀p₂p₁>)
　　＝　m₀(<p₂p₃>−<p₁p₃>＋<p₁p₂>)
　　　＋m₁(<p₃p₂>−<p₀p₂>＋<p₀p₃>)
　　　＋m₂(<p₁p₃>−<p₀p₃>＋<p₀p₁>
　　　＋m₃(<p₂p₁>−<p₀p₁>＋<p₀p₂>)
　　＝(m₀-m₁)<p₂p₃>＋(m₀-m₂)<p₃p₁>＋(m₀-m₃)<p₁p₂>
　　　＋((m₂-m₀+m₀-m₃))<p₀p₁>＋((m₃-m₀+m₀−m₁))<p₀p₂>＋((m₁-m₀+m₀−m₂))<p₀p₃>
　　
　　＝m'₁<p₂p₃>＋m'₂<p₃p₁>＋m'₃<p₁p₂>
　　　＋(m'₃−m'₂)<p₀p₁>＋(m'₁−m'₃)<p₀p₂>＋(m'₂−m'₁)<p₀p₃>　

　　＝m'₁(<p₂p₃>＋<p₀p₂>−<p₀p₃>)
　　　＋m'₂(<p₃p₁>＋<p₀p₃>−<p₀p₁>)
　　　＋m'₃(<p₁p₂>＋<p₀p₁>−<p₀p₂>)
　　　　　　　　　　

すなわち，B₁(Th₃)＝B₁(Th₂) 〜 Z³

(ただし，　m'₁,m'₂,m'₃∈Z，　m'_k≡m₀−m_k； k=1,2,3　)　

次に　∂₂c²＝0 より Z₂(Th₃)＝Z₂(Th₂) を求めるが，上の結果より，

∂₂c²＝m'₁(<p₂p₃>＋<p₀p₂>−<p₀p₃>)
　　　　　＋m'₂(<p₃p₁>＋<p₀p₃>−<p₀p₁>)
　　　　　＋m'₃(<p₁p₂>＋<p₀p₁>−<p₀p₂>)

これが，0　となるのは，m'₁＝m'₂＝m'₃＝0　のとき，すなわち，

m₁＝m₂＝m₃＝m₀

よって，　

c²＝m₀ ( <p₁p₂p₃>＋<p₀p₃p₂>+<p₀p₁p₃>＋<p₀p₂p₁> ) ∈　Ker∂₂
        (m₀  ∈ Z　)

であればよい。

すなわち，　Z₂(Th₃)＝Z₂(Th₂) 〜 Z

（３−２）

四面体輪の場合

C₂(Th₁)＝{ 0 } なので，

B₁(Th₁)＝Im∂₂c²＝{ 0 }

Z₂(Th₁) ＝{ 0 }

（４）　　四面体，四面体面，四面体輪の場合

C₁(Th₃)＝C₁(Th₂)＝C₁(Th₁)
　　　＝{ c¹＝n₁<p₁p₂>＋n₂<p₂p₃>＋n₃<p₃p₁>＋n₄<p₀p₁>＋n₅<p₀p₂>＋n₆<p₀p₃>｜n_j∈Z　}

なので，

B₀(Th₃)＝B₀(Th₂)=B₀(Th₁)＝Im∂₁c¹

∂₁c¹＝∂(n₁<p₁p₂>＋n₂<p₂p₃>＋n₃<p₃p₁>＋n₄<p₀p₁>＋n₅<p₀p₂>＋n₆<p₀p₃>)

　　＝−(n₄+n₅+n₆)<p₀>＋(-n₁+n₃+n₄)<p₁>＋(n₁-n₂+n₅)<p₂>＋(n₂-n₃+n₆)<p₃>
　　＝−(r₁+r₂+r₃)<p₀>＋　r₁<p₁>　＋　r₂<p₂>　＋　r₃<p₃>
　　＝r₁(<p₁>＋<p₀>)　＋　r₂(<p₂>−<p₀>)　＋　r₃(<p₃>−<p₀>)　　　　･･･　[**]

ただし，r_１＝-n₁+n₃+n₄，r₂＝n₁-n₂+n₅，r₃＝n₂-n₃+n₆ ； r₁,r₂,r₃∈Z　

よって，B₀(Th₃)＝B₀(Th₂)＝B₀(Th₁) 〜 Z³

続いて，

∂₁c¹＝0 より Z₁を求める。[**]式において， r₁＝r₂＝r₃＝0　であればよい。　すなわち，

n₁−n₃　＝n₄　
n₂−n₁　＝n₅
n₃−n₂　＝n₆

であればよい。そのとき，c₁∈Ker∂₁は，

c₁＝n₁<p₁p₂>＋n₂<p₂p₃>＋n₃<p₃p₁>
　　　　　＋(n₁−n₃)<p₀p₁>＋(n₂−n₁)<p₀p₂>＋(n₃−n₂)<p₀p₃>

＝n₁(<p₁p₂>＋<p₀p₁>−<p₀p₂>)＋n₂(<p₂p₃>＋<p₀p₂>−<p₀p₃>)
　　　　　　＋n₃(<p₃p₁>＋<p₀p₃>−<p₀p₁>)

(　n₁,n₂,n₃∈Z　)

と表される。

すなわち，　Z₁(Th₃)＝Z₁(Th₂)＝Z₁(Th₁) 〜 Z³　　　　

（５）　四面体，四面体面，四面体輪の場合

∂c⁰＝0 より Z₀ を求めるが，

C₀(Th₃)＝C₀(Th₂)＝C₀(Th₁)＝{ c⁰＝d₀<p₀>＋d₁<p₁>＋d₂<p₂>＋d₃<p₃>｜d_k∈Z，　}

のすべての元は 0 に写されるので，

Z₀(Th₃)＝Z₀(Th₂)＝Z₀(Th₁) 〜 Z⁴

[14]　　以上の計算値を用いたホモロジー群の計算結果は下表のとおりです。  

２．境界準同型写像の行列表示

境界準同型写像はベクトル空間C^q+1からC^qへの線形写像と考えれば，行列で表すことができます。

例えば，下のようなC₁からC₀への境界準同型写像，

C₁＝{ c¹＝n₁<p₁p₂>＋n₂<p₂p₃>＋n₃<p₃p₁>＋n₄<p₀p₁>＋n₅<p₀p₂>＋n₆<p₀p₃>｜n_j∈Z　}　

∂₁c¹＝∂(n₁<p₁p₂>＋n₂<p₂p₃>＋n₃<p₃p₁>＋n₄<p₀p₁>＋n₅<p₀p₂>＋n₆<p₀p₃>)

　　＝(-n₄-n₅-n₆)<p₀>＋(-n₁+n₃+n₄)<p₁>＋(n₁-n₂+n₅)<p₂>＋(n₂-n₃+n₆)<p₃>

　　＝c⁰　　（　∈C₀　）　

は基底　<p₁p₂>，<p₂p₃>，<p₃p₁>，<p₀p₁>，<p₀p₂>，<p₀p₃>をもつ6次元ベクトル空間から
基底　<p₀>，<p₁>，<p₂>，<p₃>をもつ４次元ベクトル空間への線形写像と考えれば，

行列を使って，

	-n4-n5-n6 -n1+n3+n4 n1-n2+n5 n2-n3+n6		＝		0 0 0 -1 -1 -1 -1 0 1 1 0 0 1 -1 0 0 1 0 0 1 -1 0 0 1			n1 n2 n3 n4 n5 n6

と表すことができます。

そして，∂₁を表す４行６列の行列の階数　[#] を調べれば，

dim Im∂₁ ＝ dim B₀(K) ＝ 3   　　　　　←　階数
dim Ker∂₁＝ dim Z₁(K) ＝ 3　　　　　　←　6−階数

が分かります。

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