１　共変微分
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１．クリストッフェル記号と共変微分

［１］　アインシュタインの縮約を用いて，ベクトルをA = Aiei とするとき，これの座標xj に関する微分は，基底ej も座標に依存するのであれば，

∂A ＝ ∂Ai ei＋Ai ∂ei
∂xj ∂xj ∂xj

(2.124)

と書けます。この第2項は，基底の座標依存性のないデカルト座標では0 となりますが，曲線座標系では座標に依存するある方向を向いたベクトルとなります。そこで，3 次元ベクトルの場合，基底を用いて，

∂ei ＝Γ1ij e1 + Γ2ij e2 + Γ3ij e3 = Γkij ek
∂xj

(2.125)
と展開することを考えます。この展開係数を接続係数，または第2種のクリストッフェッル記号
(the Christoffel symbol of the second kind) といいます。

［２］　すなわち，

【定義19 】第2 種クリストッフェル記号

i 番目の基底ベクトルの座標 xj による偏微分を、

∂ei ＝ Γkij ek　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2.126) 
∂xj

と展開したときの係数Γkij を接続係数，または第2種クリストッフェル記号と呼ぶ。ここで，

k は係数の掛かる基底ベクトルの番号
i  は微分される基底ベクトルの番号
j  は微分する座標の番号


を意味する。

定義より，第2種クリストッフェル記号は基底が与えられれば定まる計量テンソルを用いて表す
こともできるはずです。そのためにまず，(2.126) 式の両辺をeu との内積をとれば，

eu･ ∂ei ＝Γkij eu ･ ek ＝Γkij δuk＝Γuij　　　　　　　　　　(2.127)
∂xj

となります。

［３］　さらに重要な関係式をもう一つ導いておきます。x'i(x1, x2, x3) が C2 級の関数　(2 階連続微分可能) であるならば，2 階微分の順序が交換できることに注意して，(2.90) 式を xj で微分すると，

∂ei ＝ ∂ ∂x'1 ， ∂ ∂x'2 ， ∂ ∂x'3
∂xj ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi
　　　　＝ ∂ ∂x'1 ， ∂ ∂x'2 ， ∂ ∂x'3
∂xi ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj
　　　　＝ ∂ej 　　　　　　　 ＝ 1 ∂ei ＋ ∂ej と対称的にも書ける！
∂xi 2 ∂xj ∂xi

となります。すなわち，基底ベクトルの微分において，「分子分母の添字を入れ換えることが可能」，

　Γkij ＝Γkji　

であることが分かります。さらに，添字を下げるためにeu = gkuek も利用すると，(2.127) 式は，

Γuij＝eu･ ∂ei
∂xj
　　＝gkuek ･ 1 ∂ei ＋ 1 ∂ej
2 ∂xj 2 ∂xi
　　＝gkuek ･ 1 ∂ei ＋ 1 ∂ej ＋gkuei ･ 1 ∂ek − 1 ∂ej
2 ∂xj 2 ∂xi 2 ∂xj 2 ∂xk
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋gkuej ･ 1 ∂ek − 1 ∂ei
2 ∂xi 2 ∂xk

と書くことができます。ここで，対称性をよくするために技巧として付加された第2，第3 項の(　) の中は(2.128) 式から0 です。そして，この式は順序を並び換えて換えて，

　Γuij＝ 1 gku ∂(ek･ei) ＋ ∂(ej ･ek)  − ∂(ei ･ej)  
2 ∂xj ∂xi ∂xk

と書き直してもよいことも確かめられます。ここで，基底の内積を計量テンソルで表せば，

　Γuij＝ 1 gku ∂gik ＋ ∂gjk − ∂gij
2 ∂xj ∂xi ∂xk
　　　　　＝ gku Γkij

と書かれます。ここで，(　　　)に対して定義された Γki j は第1種クリストッフェル記号といいます。

［４］　ここまで，アインシュタインの縮約を用いてまとめると，

【定義20 】クリストッフェル記号の計量テンソル表示

　Γki j ＝　　 1 ∂gik ＋ ∂gjk − ∂gij 　[第1 種クリストッフェル記号] (2.133)
2 ∂xj ∂xi ∂xk
　Γuij ＝ 1 gku ∂gik ＋ ∂gjk − ∂gij 　[第2 種クリストッフェル記号] (2.134)
2 ∂xj ∂xi ∂xk
　Γuij ＝ gku Γkij

ここで，注意しておかなければいけないのは，クリストッフェル記号はテンソルのような記号をしていますが，テンソルではありません。実際，どのように座標変換されるのか調べておきましょう。クリストッフェル記号は計量テンソルからできていますので，計量テンソルの変換則 (2.116) を思い出しておきます。後のためいろいろな添え字で表しておくと，

メモ

g'ij＝ ∂x'i　 ∂x'j　 gmn
∂xm ∂xn
g'ik＝ ∂xm ∂xl gml ，　g'jk＝ ∂xn ∂xl gnl ，　g'ij＝ ∂xm ∂xn gmn　　(2.136)
∂x'i ∂x'k ∂x'j ∂x'k ∂x'i ∂x'j


そこで，座標変換後の第１種のクリストッフェル記号を，

　Γki j ＝ 1 ∂g'ik ＋ ∂g'jk − ∂g'ij 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[*]　
2 ∂x'j ∂x'i ∂x'k

とするとき，この（　　）の中の各項の g' について，(2.136) を代入してから合成微分すると，

　　 ∂g'ik 　＝　 ∂xm ∂xl ∂gml ∂xn ＋gml ∂ ∂xm ∂xl 　(2.138)
∂x'j ∂x'i ∂x'k ∂xn ∂x'j ∂x'j ∂x'i ∂x'k
　　 ∂g'jk 　＝　 ∂xn ∂xl ∂gnl ∂xm ＋gnl ∂ ∂xn ∂xl 　　(2.139)
∂x'i ∂x'j ∂x'k ∂xm ∂x'i ∂x'i ∂x'j ∂x'k
− ∂g'ij 　＝− ∂xm ∂xn ∂gmn ∂xl −gmn ∂ ∂xm ∂xn 　(2.140)
∂x'k ∂x'i ∂x'j ∂xl ∂x'k ∂x'k ∂x'i ∂x'j

この3 つの式の各1 項目の和をとると，

∂xm ∂xl ∂xn ∂gml ＋ ∂gnl − ∂gmn ＝2 ∂xl ∂xm ∂xn Γlmn　[*1]
∂x'i ∂x'k ∂x'j ∂xn ∂xm ∂xl ∂x'k ∂x'i ∂x'j

一方，各第2 項の和は3 行目の式(2.140) を

−gmn ∂ ∂xm ∂xn ＝− gmn ∂2xm ∂xn −gmn ∂xm ∂xn
∂x'k ∂x'i ∂x'j ∂x'i∂x'k ∂x'j ∂x'i ∂x'j∂x'k
　　　　　　＝− ∂2xl ∂xn gnl − ∂xm ∂2xl gml
∂x'i∂x'k ∂x'j ∂x'i ∂x'j∂x'k

と添え字を書き直してから，(2.138),(2.139) の第２項の微分の計算値と加算して，添字i, j の対称性と2 階微分の微分順序が可換であることに注意すれば，キャンセルされずに残る項は，

∂2xm ∂xl gml ∂2xn ∂xl gmn ＝2 ∂2xm ∂xn gmn　　[*2]
∂x'i∂x'j ∂x'k ∂x'j∂x'i ∂x'k ∂x'i∂x'j ∂x'k

となります。この等式は縮約の取られる左辺第2項のダミーの記号や計量の下添字の対称性を利用しています。

［５］　結局，[*] の右辺は ([*1]＋[*2])/2 であるから第１種クリトッフェル記号の座標変換式は次のとおりとなります。

第１種クリトッフェル記号の座標変換

Γ'kij ＝ ∂xl ∂xm ∂xn Γlmn＋ ∂xm ∂2xn gmn　　　　　　　　
∂x'k ∂x'i ∂x'j ∂x'k ∂x'i∂x'j

これを利用すれば，第2種クリストフェル記号の座標変換は，

Γ'uij＝g'uk Γ'kij

　　＝g'uk ∂xl ∂xm ∂xn Γlmn＋g'uk ∂xm ∂2xn gmn
∂x'k ∂x'i ∂x'j ∂x'k ∂x'i∂x'j
　       　↓　g'uk＝ ∂x'u ∂x'k　 gpq  ，　　g'uk＝ ∂x'u ∂x'k　 gst
∂xp ∂xq ∂xs ∂xt
　      ＝ ∂x'u ∂x'k　 gpq ∂xl ∂xm ∂xn Γlmn＋ ∂x'u ∂x'k　 gst ∂xm ∂2xn gmn
∂xp ∂xq ∂x'k ∂x'i ∂x'j ∂xs ∂xt ∂x'k ∂x'i∂x'j
　      ＝ ∂x'u ∂xl gpq ∂xm ∂xn Γlmn＋ ∂x'u ∂xm gst ∂2xn gmn
∂xp ∂xq ∂x'i ∂x'j ∂xs ∂xt ∂x'i∂x'j
　　　　　　↓　　 ∂xl ＝δlq   ，    ∂xm ＝δmt
∂xq ∂xt
　      ＝ ∂x'u ∂xm ∂xn gplΓlmn＋ ∂x'u ∂2xn gsmgmn
∂xp ∂x'i ∂x'j ∂xs ∂x'i∂x'j
　      ＝ ∂x'u ∂xm ∂xn Γpmn＋ ∂x'u ∂2xs
∂xp ∂x'i ∂x'j ∂xs ∂x'i∂x'j

［６］　和をとるダミー s を q と書き換えて，

【公式4 】第2 種クリストフェル記号の座標変換

Γ'uij＝ ∂x'u ∂xm ∂xn Γpmn＋ ∂x'u ∂2xq
∂xp ∂x'i ∂x'j ∂xq ∂x'i∂x'j

さて，最初のベクトルAiei の微分(2.124) 式に話を戻すと，クリストッフェル記号を用いて，

∂A ＝ ∂Ai ei＋Ai ∂ei
∂xj ∂xj ∂xj
　　＝ ∂Ai ei＋AiΓuij eu
∂xj
　　＝ ∂Ai ei＋AkΓikj ei
∂xj
　　＝ ∂Ai ＋Γikj Ak ei
∂xj
　　≡( ∇j Ai )ei
　　≡( Ai；j )ei

のように書けることが分かります。この基底に係る係数を∇j Ai または，Ai；j と書き，共変微分または，共変微分係数と言います。

［７］

【定義21 】 (反変ベクトル成分の) 共変微分

∇j Ai ＝ Ai；j ＝ ∂Ai ＋Γikj Ak　　　　　←2階混合テンソル
∂xj

一方，ベクトルの共変成分についても同様な計算を行えば，

【定義21 】 (共変ベクトル成分の) 共変微分

∇j Ai ＝ Ai；j ＝ ∂Ai −Γkij Ak　　　←2 階共変テンソル (2.149)
∂xj

が得られます。第2項の符号だけが変わっています。この証明は次の公式が分かれば，直ちに理解できます。

［８］

【公式5 】基底，双対基底の微分の展開

(1)　 ∂ei 　＝　  Γkij ek
∂xj
(2)　 ∂ei 　＝− Γikj ek
∂xj

(1) は第２種クリストッフェル記号の定義そのものですから，(1) が成り立つとき，(2) が成り立つことを示せばよいでしょう。

証明

直交関係の式，

ei･eh＝δih

を xj で偏微分すると，

　0＝ ∂ei ･eh＋ei･ ∂eh
∂xj ∂xj
　＝ Γkij ek･eh＋ei･ ∂eh
∂xj
　　　↓　　ek･eh＝δkh　，および， ∂eh ＝γhkjek
∂xj
＝Γhij ＋γhkjei･ek
＝Γhij ＋γhij

すなわち，γhij＝−Γhij であることが分かりました。よって，

∂eh ＝−Γhkj ek 　⇔　 ∂ei ＝−Γikj ek
∂xj ∂xj

この結果を用いると，共変ベクトル(成分) で表したベクトルの微分は，

∂A ＝ ∂Ai ei＋Ai ∂ei
∂xj ∂xj ∂xj
＝ ∂Ai ei−AiΓikj ek
∂xj
＝ ∂Ai ei−AkΓkij ei
∂xj
＝ ∂Ai −Γkij Ak ei　
∂xj

と計算することができ，この成分が共変ベクトル(共変成分) の共変微分の定義式 (2.149) となっています。

［９］　ベクトルの共変微分の定義は以上のとおりですが，もし，読者が，基底を表示しない，ベクトル成分だけを用いた共変ベクトルの定義を教科書で読んだことがあるすれば，ベクトル(1 階テンソル) を共変微分した成分 Ai； j は座標変換に対してどのように振る舞うか気になりますが，答えは2 階テンソルとして振る舞うことが，以下のような座標変換則を確認することで分かります。

A'i；j＝ ∂A'i −Γ'uij A'u
∂x'j
↓　A'i= ∂xm　 Am  　，　A'u= ∂xk　 Ak
∂x'i ∂x'u
↓　Γ'uij＝ ∂x'u ∂xm ∂xn Γpmn＋ ∂x'u ∂2xq
∂xp ∂x'i ∂x'j ∂xq ∂x'i∂x'j
　＝ ∂ ∂xm Am − ∂x'u ∂xm ∂xn Γpmn＋ ∂x'u ∂2xq ∂xk Ak
∂x'j ∂x'i ∂xp ∂x'i ∂x'j ∂xq ∂x'i∂x'j ∂x'u
　＝ ∂2xm　 Am＋ ∂xm ∂Am ∂xn − ∂xk ∂xm ∂xn ΓpmnAk− ∂xk ∂2xq Ak
∂x'i∂x'j ∂x'i ∂xn ∂x'j ∂xp ∂x'i ∂x'j ∂xq ∂x'i∂x'j
　　↓　 ∂xk ＝δkp　　， ∂xk ＝δkq
∂xp ∂xq
　＝ ∂2xm　 Am ＋ ∂xm ∂xn ∂Am − ∂xm ∂xn ΓkmnAk− ∂2xk Ak
∂x'i∂x'j ∂x'i ∂x'j ∂xn ∂x'i ∂x'j ∂x'i∂x'j
↓　第1 と第4 項とでキャンセル
　＝ ∂xm ∂xn ∂Am − ΓkmnAk
∂x'i ∂x'j ∂xn
　＝ ∂xm ∂xn Am；n
∂x'i ∂x'j

すなわち，Am;n は2 階共変テンソルとして変換されることが分かりました。



問題：  Ai；j ＝ ∂Ai ＋Γikj Ak　が混合テンソルとして変換されることを示せ。　
∂xj

[10］


例　






２．　２階テンソルの共変微分

［１］　２階テンソルT = Tmn emen を成分，及び基底を座標の関数として微分すると，

∂T ＝ ∂(Tmn emen )
∂xj ∂xj
　　＝ ∂Tmn emen ＋Tmn ∂em en ＋Tmn em ∂en
∂xj ∂xj ∂xj
↓　　(2.151) 式
　　＝ ∂Tmn emen ＋Tmn (-Γmjkek)en ＋Tmn em(-Γnjkek)　
∂xj
　　＝ ∂Tmn emen ＋Tpn (-Γpjmem)en ＋Tmq em(-Γqjnen)　
∂xj
　　＝ ∂Tmn −ΓpmjTpn -Γqnj Tmq    emen
∂xj

　　≡　Tmn；j emen

［２］　この成分は２階テンソル共変成分の共変微分 (係数) と呼ばれます。これより，2 階テンソルの反変成分の微分，混合成分の(共変) 微分も公式５等を用いて計算することができ，その結果をまとめると次のようになります。

【公式6 】　　2 階テンソルの共変微分

∂(Tmn emen ) ＝ ∂Tmn ＋ΓmpjTpn ＋Γnqj Tmq  emen＝Tmn；j emen
∂xj ∂xj
∂(Tmn emen ) ＝ ∂Tmn −ΓpmjTpn −Γqnj Tmq  emen＝Tmn；j emen
∂xj ∂xj
∂(Tmn emen ) ＝ ∂Tmn ＋ΓmpjTpn −Γqnj Tmq  emen＝Tmn；j emen
∂xj ∂xj
∂(Tmn emen ) ＝ ∂Tmn −ΓpmjTpn ＋Γnqj Tmq  emen＝Tmn；j emen
∂xj ∂xj

もしくは，成分表示で示すと，

∇jTmn　　　＝ ∂Tmn ＋ΓmpjTpn ＋Γnqj Tmq 　　　＝Tmn；j 
∂xj
∇jTmn　　　＝ ∂Tmn −ΓpmjTpn −Γqnj Tmq 　　　　＝Tmn；j 
∂xj
∇jTmn　　　＝ ∂Tmn ＋ΓmpjTpn −Γqnj Tmq 　　　　＝Tmn；j 
∂xj
∇jTmn　　　＝ ∂Tmn −ΓpmjTpn ＋Γnqj Tmq 　　　　＝Tmn；j 
∂xj


４タイプの2階テンソルの共変微分の右辺の係数は，上から順に Tmn；j ： (2,1) 型3 階テンソル(成分)，Tmn；j ： (0,3) 型3 階テンソル(成分)， Tmn；j  ： (1,2) 型3 階テンソル(成分) となっています。

以上の計算方法，結果から，さらに階数が増えた場合の共変微分がどのようなものであるかは推測可能ですね。

n 階テンソルを共変微分すると，共変成分の階数が一つ増えて，n+1 階テンソルとなることも予想できます。つまり，共変微分記号∇j は共変ベクトルであって，これを「テンソル」に作用させることはこの共変ベクトルと「テンソル」とのテンソル積を考えていることに相当します。

［３］　高階テンソルに一般化した共変微分を書いておくと，

∇jTm1…msn1…nt＝ ∂Tm1…msn1…nt ＋ ΓmkpjTm1…p…msn1…nt− Γqnkj Tm1…msn1…q…nt
∂xj

　　(　ここで，pはmk を添え字p に置き換えること，qはnk を添え字q に置き換えることを意味する。)

となります。


３．　計量テンソルの共変微分

［１］　計量テンソルの共変微分が0 となることを示しておきましょう。計量テンソルの共変微分は2階テンソルなので，共変微分の公式に従って，

∇jgmn＝ ∂gmn −Γpmjgpn −Γqnj gmq　＝　0           (2.183)
∂xj

を示せばよいでしょう。計量テンソルによるクリストッフェル記号の定義 [#] を，次の2 通りの添え字の順番で示すと，

　Γnmj ＝gpnΓpmj＝ 1 ∂gnm ＋ ∂gjn − ∂gmj
2 ∂xj ∂xm ∂xn
　Γmnj ＝gpmΓpnj＝ 1 ∂gmn ＋ ∂gjm − ∂gnj
2 ∂xj ∂xn ∂xm

両辺足し合わせると，

gpnΓpmj＋gpmΓpnj　＝ ∂gnm 　⇔　 ∂gmn −gpnΓpmj−gpmΓpnj　＝0
∂xj ∂xj

成分での計算は以上のとおりですが，共変微分が基底の変化分を補正した量であることを考えれば，基底の内積である計量テンソルの共変微分が 0 となるのは当たり前のことなのです。

問題：　計量反変テンソルの共変微分が0 となることを示せ。


反変成分gij については，

　gik git　＝δkt　　　⇒　　 ∂gik git ＋ gik ∂git ＝0
∂xj ∂xj

　　　　　　↓　　(2.183)式の添え字を変更して　∂gik/∂xj 　に代入

( gukΓuij ＋guiΓukj )git ＋ gik ∂git ＝0
∂xj
gitgukΓuij ＋Γtkj ＋ gik ∂git ＝0
∂xj
gitgukgukΓuij ＋gukΓtkj ＋ gukgik ∂git ＝0
∂xj
gitΓuij ＋gukΓtkj ＋ ∂gut ＝0　⇔　 ∂gmn ＋Γmpj gpn＋Γnpj gmp　＝0　
∂xj ∂xj





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ei= ∂x'j e'ｊ ≡ ∂x'1 ， ∂x'2 ， ∂x'3
∂xi ∂xi ∂xi ∂xi

ej= ∂xj　 e'i ≡ ∂xj ， ∂xj ， ∂xj
∂x'i ∂x'1 ∂x'2 ∂x'3

メモ

e'i= ∂xm em
∂x'i
e'i= ∂x'i　 em
∂xm
e'j= ∂xn en
∂x'j
e'j= ∂x'j　 en
∂xn
g'ij＝(e'i,e'j)＝ ∂x'i　 em ， ∂x'j　 en ＝ ∂x'i　 ∂x'j　 (em,en)＝ ∂x'i　 ∂x'j　 gmn
∂xm ∂xn ∂xm ∂xn ∂xm ∂xn
g'ij＝(e'i,e'j)＝ ∂xm em ， ∂xn en ＝ ∂xm ∂xn (em ,en)＝ ∂xm ∂xn gmn
∂x'i ∂x'j ∂x'i ∂x'j ∂x'i ∂x'j
g'ij＝(e'i,e'j)＝ ∂x'i　 em ， ∂xn en ＝ ∂x'i　 ∂xn (em,en) ＝ ∂x'i　 ∂xn gmn＝δmn
∂xm ∂x'j ∂xm ∂x'j ∂xm ∂x'j
g'11＝gxx＝ ∂x'1　 ∂x'1　 gmn
∂xm ∂xn
g'22＝gyy＝ ∂x'2　 ∂x'2　 gmn
∂xm ∂xn
g'33＝gzz＝ ∂x'3　 ∂x'3　 gmn
∂xm ∂xn
g'11 g'12 g'13 ＝  1  0  0
g'21 g'22 g'23  0  1  0
g'31 g'32 g'33  1　0　1