１　計量テンソル
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０．座標変換の復習

表にまとめておきます。（線形代数第３部，および，２．多様体の基礎から）

ベクトル空間
	ベクトル空間　V		双対空間　V*
	基底　　ej		基底　　ej
基 底 変 換	e'j＝pijei 共変的とする基準	ej＝qije'i	e'j＝qjiei	ej＝pjie'i
座 標 変 換	x'j＝qjixi	xj＝pjix'i	x'j＝pijxi	xj＝qijx'i
ベクトル場
	接空間		余接空間
	基底　　　 ∂ ∂xi		基底　　　dxj
	数学（多様体）における表記例
基 底 変 換	∂ ＝ ∂xi ∂ ∂yj ∂yj ∂xi	∂ ＝ ∂yi ∂ ∂xj ∂xj ∂yi	dyj＝ ∂yj dxi ∂xi	dxj＝ ∂xj dyi ∂yi
座 標 変 換	ηj＝ ∂yj χi ∂xi	χj＝ ∂xj ηi ∂yi	gj＝ ∂xi fi ∂yj	fj＝ ∂yi gi ∂xj
	物理における表記例
基 底 変 換	∂ ＝ ∂xi ∂ ∂x'j ∂x'j ∂xi e'j＝ ∂xi ei ∂x'j	∂ ＝ ∂x'i ∂ ∂xj ∂xj ∂x'i ej＝ ∂x'i e'i ∂xj	dx'j＝ ∂x'j dxi ∂xi e'j＝ ∂x'j　 ei ∂xi	dxj＝ ∂xj dx'i ∂x'i ej＝ ∂xj　 e'i ∂x'i
座 標 変 換	x'j＝ ∂x'j　 xi ∂xi	xj＝ ∂xj　 x'i ∂x'i	x'j＝ ∂xi　 xi ∂x'j	xj＝ ∂x'i x'i ∂xj
緑＝反変的， 赤＝共変的　 元の座標系Σの座標 (xi)， 新しい座標系Σ’の座標＝(x'i) qij　は　pij　の逆行列，　　|ej|≠1でも構わない

ベクトル空間とベクトル場での記号の対応

新しい座標系Σ’ で表された，もとの座標系Σの基底ベクトルの成分表示

ei＝	∂x'j	e'ｊ	≡		∂x'1		∂x'2		∂x'3
	∂xi				∂xi		∂xi		∂xi

ej＝	∂xj	e'i	≡		∂xj		∂xj		∂xj
	∂x'i				∂x'1		∂x'2		∂x'3

１． 計量テンソルの成分表示

［１］ 元の座標系Σの座標 (xⁱ)， 新しい座標系Σ’の座標＝(x'ⁱ) と表します

ベクトル場の基底，双対基底の座標を3次元の例でΣ’の成分で表示すると，

ei＝

∂x'j

e'ｊ

＝

∂x'1

e'1＋

∂x'2

e'2＋

∂x'3

e'3

＝

∂x'1

∂x'2

∂x'3

(2.90)

∂xi

∂xi

∂xi

∂xi

∂xi

∂xi

∂xi

ej＝

∂xj

e'i

＝

∂xj

e'1＋

∂xj

e'2＋

∂xj

e'3

＝

∂xj

∂xj

∂xj

∂x'i

∂x'1

∂x'2

∂x'3

∂x'1

∂x'2

∂x'3

これを用いて，(双対) 基底の内積を計算することで計量が計算できます。

gij ＝ei･ej＝

∂x'1

∂x'1

＋

∂x'2

∂x'2

＋

∂x'3

∂x'3

∂xi

∂xj

∂xi

∂xj

∂xi

∂xj

gij＝ei･ej＝

∂xi

∂xj

＋

∂xi

∂xj

＋

∂xi

∂xj

∂x'1

∂x'1

∂x'2

∂x'2

∂x'3

∂x'3

gⁱ_j＝eⁱ･e_j＝δⁱ_j　　　　　

［２］　ここでは，球面の計量を実際に計算してみましょう。半径 r (定数) の球面座標Σ(θ, φ) からデカルト座標Σ’( x, y, z )への座標変換を与える式を，

x'≡ x ＝ r sinθcosφ，　　　
y'≡ y ＝ r sinθsinφ，　　
z'≡ z ＝ r cosθ

とします。すると，基底は，

eθ ＝		∂x	ex＋	∂y	ey＋	∂z	ez	＝		r cosθcosφ，r cosθsinφ，− r sinθ
		∂θ		∂θ		∂θ

eφ＝		∂x	ex＋	∂y	ey＋	∂z	ez	＝		- r sinθsinφ，r sinθcosφ，　0
		∂φ		∂φ		∂φ

と関係づけられます。球面を考えるのに必要なのは，上式の２行だけで十分ですが，後の計算で必要となってくるので，接平面に垂直な法線ベクトルについても計算しておくと，

er　＝		∂x	ex＋	∂y	ey＋	∂z	ez	＝		sinθcosφ，sinθsinφ，cosθ
		∂r		∂r		∂r

e_θ×e_φ＝(r² sinθsinθcosφ，r²sinθsinφ， r²sinθcosθ)　
　　　↑　計量係数　r²sinθ[#] の寄与を無視すればe_r と一致。

　　　　( ガウスの曲面論では，e_n　を考える。 )

これより，計量テンソルG の各成分は，

g₁₁ ＝ e_θ･e_θ ＝ (r cosθcosφ)² + (r cosθsinφ)² + (-r sinθ)²
　　 ＝ r²　　　
g₂₂ ＝ e_φ･e_φ ＝ (-r sinθsinφ)² + (r sinθcosφ)² 　　　　　　　　
　　 ＝ r² sin²θ　
g₁₂ ＝ g₂₁
　　＝ e_θ･e_φ ＝ (r cosθcosφ)(-r sinθsinφ) + (r cosθsinφ)(r sinθcosφ)
　　＝ 0　

および，

e_r ･e_r ＝ (sinθcosφ)² + (sinθsinφ)² + (cosθ)² ＝ 1　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2.104)

などと計算します。まとめておくと，

微分線要素　ds の計算は，

dr ＝ dxⁱe_i ＝ dx_ieⁱ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2.109)

より，線素の２乗は，

ds² ＝ dr
dr ＝ (dxⁱe_i)
(dx^je_j) ＝ (ei
ej) dxⁱdx^j

＝ g_ijdxⁱdx^j 　　　　　　　　　　　　(ただし，g_ij ＝ e_i
e_j)

　　　　　　　　　　↓　　 2 次元曲面の場合

＝ g₁₁dx¹dx¹ + g₁₂dx¹dx² + g₂₁dx²dx¹ + g₂₂dx²dx²　　　　　　　(2.110)

同様に，

ds² ＝ g^ijdx_idx_j 　　　　　　　　　( ただし，g^ij ＝ eⁱ
e^j) 　　　　　　　　(2.111)
ds² ＝ gⁱ_jdx_idx^j ＝ dx_idxⁱ 　　　( ただし，gⁱ_j ＝ eⁱ
e_j ＝ δⁱ_j )　　　 (2.112)

と表すこともできます。

２．計量テンソルの座標変換

ベクトル場の基底(共変的)，双対基底(反変的) の座標変換は，

e'i＝	∂xm	em
	∂x'i

e'i＝	∂x'i	em
	∂xm

なので，計量テンソルの座標変換は次の通りです。

［１］

計量テンソルの座標変換 g'ij＝(e'i,e'j)＝ ∂x'i　 em ， ∂x'j　 en ＝ ∂x'i　 ∂x'j　 (em,en)＝ ∂x'i　 ∂x'j　 gmn ∂xm ∂xn ∂xm ∂xn ∂xm ∂xn g'ij＝(e'i,e'j)＝ ∂xm em ， ∂xn en ＝ ∂xm ∂xn (em ,en)＝ ∂xm ∂xn gmn　(2.116) ∂x'i ∂x'j ∂x'i ∂x'j ∂x'i ∂x'j g'ij＝(e'i,e'j)＝ ∂x'i　 em ， ∂xn en ＝ ∂x'i　 ∂xn (em,en) ＝ ∂x'i　 ∂xn gmn＝δmn ∂xm ∂x'j ∂xm ∂x'j ∂xm ∂x'j

曲面間の座標変換であれば，２つの基底を用いて計量の座標変換が計算できます。

［２］

例

球面座標から3 次元デカルト座標への座標変換では，3 つの基底が必要です。その座標変換の行列要素は，

	∂x	＝r cosθcosφ，	∂y	＝r cosθsinφ，	∂z	＝-r sinθ
	∂θ		∂θ		∂θ

	∂x	＝-r sinθsinφ，	∂y	＝r sinθcosφ，	∂z	＝0
	∂φ		∂φ		∂φ

	∂x	＝sinθcosφ，	∂y	＝sinθsinφ，	∂z	＝cosθ
	∂r		∂r		∂r

となります。これを用いて，3 次元デカルド座標Σ' の計量g'^ij を球座標の計量g^mn から計算すると，

g'11＝gxx＝		∂x'1		∂x'1	gmn
		∂xm		∂xn

　　　　　　＝(r cosθcosφ)²/r²＋ (-r sinθsinφ)²/(rsinθ)² ＋ (sinθcosφ)²
　　　　　　＝1

g'22＝gyy＝		∂x'2		∂x'2	gmn
		∂xm		∂xn

＝ (r cosθsinφ)²/r² + (r sinθcosφ)²/(rsinθ)² + (sinθsinφ)²
＝ 1

g'33＝gzz＝		∂x'3		∂x'3	gmn
		∂xm		∂xn

＝ (-r sin θ)²/r² + 0²/(r sinθ)² + (cos θ)²
＝ 1

g'^ij＝0　　　i≠j

など計算することができます。よって，デカルト座標の計量テンソルG'＝G'^-1 は，

	g'11 g'12 g'13		＝		1  0  0
	g'21 g'22 g'23				0  1  0
	g'31 g'32 g'33				1　0　1

以上のようにデカルト座標の計量について当然な結果が得られましたが，ここで，注意すべきは，２次元の曲面(球面) から3 次元の計量へ変換するためには，曲面の記述に必要な変数θ,φ に対応する基底だけでなく，もう一つ独立な基底，球面ならばe_r を加えてやらないと計量の計算を実行できません。

［３］

例２　　２次元球面から２次元平面への座標変換（射影）

球面から赤道を通る平面の射影を考えます。⇒　[#]

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