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4-3 部分多様体と正則値定理 | |
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［１］
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定義１ 部分多様体 m次元 Cr級多様体 Mの部分集合N (N⊂M) の任意の点p に対して，p を含む Mの座標近傍 (U；x1,x2,…,xm ) が存在して， N ∪ U＝｛ (x1,x2,…,xm )＝ (x1,x2,…,xn，0,…,0) ， m＞n ｝ と表すことができるとき，N を M の n次元 Cr級部分多様体という。 注意： n＝mのときは，部分集合NがMの開集合Uの一つであれば，Mの部分多様体であるとする。 |
例えば，R3の部分集合であるx軸Rは { (x1,0,0)⊂R3 }と表されるので，R3の1次元部分多様体，また， x-y平面R2は{ (x1,x2,0)⊂R3 } と表されるのでR3の２次元部分多様体です。
この例の場合は自明ですが，部分集合が複雑になると，上の定義を満たす座標近傍は自明でなく，それを具体的に見出すことも困難になってきます。
そこで，部分集合が部分多様体であることを示すためには，f そのものではなく，その微分の性質について述べた命題・定理も重要です。
［２］
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定理１ m次元多様体M から n次元多様体N へのCr級写像を f とする (m＞n) とき，p∈Mにおける微分 (df)p： Tp(M)→Tf(p)(N) が全射であるとき， pの局所座標系 (x1,…,xm) と f(p)の周りの局所座標系 (y1,…,yn) を適当に選ぶと，ｆ の局所座標表示を， y1＝f1(x1,…,xm)＝xm-n+1 と表すことができる。 |
つまり，(df)p が全射であれば，f を射影： Rm-n×Rn → Rn として記述できる座標系の存在が保証されるということです。そして，Nの座標は，Mの座標のなかからn個を選んで表されることが分かります。
略証
f の局所座標による表現をとりあえず，
y1＝f1(x1,…,xm)
y2＝f2(x1,…,xm)
：
yn＝fn(x1,…,xm)
とする。p における(df)pが全射ならば，そのヤコビ行列 (Jf)p は，適当に x1,…,xm を並べ換えることで，
(df)p＝ * ･･･ * B n
行： ： * ･･･ * m-n列 n列
という m行n列の行列で表すことができる。ただし，
B ＝
∂f1 (p) ∂f1 (p) … ∂f1 (p) ∂xm-n+1 ∂xm-n+2 ∂xm ： ：
∂fn (p) ∂fn (p) … ∂fn (p) ∂xm-n+1 ∂xm-n+2 ∂xm
detB≠0
である。ここで，p の座標近傍(U；x1,…,xm) からRmへの写像φを
φ(x1,…,xm)＝φ x1 ＝ x1 ： ： xm-n xm-n xm-n+1 f1(x1,…,xm) ： ： xm fn(x1,…,xm)
と定義すると，そのヤコビ行列は，
Em-n O ， Em-nはm-n次単位行列 (Jφ)p＝ * ･･･ * B ： ： * ･･･ *
であり，この行列はdet(Jφ)p＝detB≠0 なので，逆写像定理より，φにはφ(p)の座標近傍 (U’；z1,…,zm) から (U；x1,…,xm) への逆写像が存在し，
φ-1 z1 ＝ x1 ＝φ-1 x1 ： ： ： zm-n xm-n xm-n zm-n+1 xm-n+1 f1(x1,…,xm) ： ： ： zm xm fn(x1,…,xm)
となっている。したがって，
fοφ-1(z1,…,zm)＝f(x1,…,xm)
＝(f1(x1,…,xm),f2(x1,…,xm),…,fn(x1,…,xm))
＝(zm-n+1,,,zm)
と書くことができる。つまり，MのU’の座標系では，f は射影となっている。
よって， z1,…,zm を改めて x1,…,xm と表せば，写像 f は，定理１の囲みの表記と一致させられる。
［１］
さらに議論を進めるために次のような用語を定義しておきます。
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定義２ 正則値と臨界値 Cr級多様体 M からCr級多様体 N への Cr級写像f について，p∈M，q＝f(p)∈N とする。 （１） p における微分 (df)p ： TpM → Tf(p)N が全射である ( rank (df)p＝dimN )とき，p はf の正則点であるという。 一方，p においてf は正則でない，すなわち，rank (df)p＜dim N であるとき，p を f の臨界点という。また，すべての f の臨界点からなる集合をCf と表す。 （２） すべてのf の臨界点の像 f(Cf) に属する Nの点を f の臨界値とよぶ。また，臨界値でない Nの点を f の正則値という。 （ 正則値の集合＝f(M)−f(Cf) ） |
［２］
例１
ｆ： R3→R として，
f(r)＝f(x,y,z)
＝x2＋y2＋z2 (C∞級関数)
を考える。(df)r を表すヤコビ行列は，
(Jf)r＝
2x 2y 2z
よって，
rank (Jf)r＝ 0 (r ＝(x,y,z)＝0 ) 1 (r ≠0 )
すなわち，
f の臨界点は0 で，臨界値は0
だけである。したがって，
f の正則点は R3−{ 0 }，
f の正則値は，r2，r∈R となる。
定理１について検証すると，正則点に通常の球面座標 (θ,φ,r) を適用すれば，f(r)＝r2 であるから，f の正則値側のRの y座標目盛を通常の実数直線に対して√r 倍で振っておけば，f
は射影： (θ,φ,r) → r とみなせる。
［３］
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正則値定理 m次元多様体M から n次元多様体への Cr級写像をf とするとき，q∈N が f の正則値で，f-1(q)≠φならば，f-1(q) の集合は Mの (m−n)次元部分多様体である。 |
証明
定理１を線形写像としての行列の次元定理 [#] ，
dim M ＝ dim Im f ＋ dim Ker f
を用いて言い換えればよい。
例
例１において，r2 ＞0 は ｆ： R3→R の正則値であるので，正則値定理から，f-1(r2) ＝{ r ∈R3｜f(r)＝x2＋y2＋z2＝r2 } は半径 r の球面 S2であり，R3の 2 (=3-1) 次元の部分多様体となっている。
とりあえず，ここまで。
