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２ 多様体上の関数 | |
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［１］
| 定義 ［Cr級関数］
Cr級多様体 M上の各点を実数に対応させる関数 f ： M → R が，座標近傍系S に属する任意の座標近傍 （Uα，φα）において対応， f οφα-1 ： Uα’ → R が Uα’上のCs級関数になるとき，S に関して f はM上のCs級関数という。（ 1≦s≦r ） |
図に示せば，下図のとおりで，数空間 を使って多様体上の関数 ｆ を表そうということです。
| 命題：
Cr 級多様体 M の2つの座標近傍系 S，T が同値である [#] とき，関数 f ： M → R がS に関して Cs級関数であれば，T に関しても Cs級関数である。ただし，0 ≦ s ≦ r ≦ ∞ |
同じことですが，
| 命題： 系
f ： M → R が Cr 級多様体 M 上の Cs級関数であるならば，M の任意の Cr級座標近傍 （Uα，φα）[#] で， f οφα-1 ： Uα’ → R は Cs級関数となる。
f οφα-1 ： Uα’ → R が Cs級関数であるならば，f ： M → R は Cs級関数である。 ただし，φ（Uα）＝Uα’∈Rm ，0 ≦ s ≦ r ≦ ∞。
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定義 この f οφα-1 を （Uα，φα）の局所座標表示という。 |
言い換えると，これは f が Cs級関数であるならば，Rmのどんな局所座標系で，f (x1,x2,…,xm) と表示したときでも，この関数は Cs級関数になるので，適当な座標近傍一つをとってCs級であることを確かめれば，f をCs級としてよいということです。
証明はある局所座標での Cs級関数を座標変換して，変換後の変数でも Cs級であることを確かめます。
［３］
例１
前ページの 例１ で考えた多様体としての球面 S2の開集合 US (南半球) 上 で，関数
f(p)＝f(X1,X2,X3)＝X1＋X2＋X3 ･･･ (1)
を考えます。ここで， X1,X2,X3 は，3次元のR3空間の座標なので，曲面の世界に住む住民の立場では，天空の世界の話でしかありません。同相写像で対応付けられる２次元数空間の座標で表すことで初めて理解可能となります。
その一つの方法は，前ページ 例１ M上の点 p の x1-x2平面への射影によると，
φx3<0(x )＝z＝(z1(X1,X2,X3)， z1(X1,X2,X3))
φx3<0-1(z )＝(X1,X2,X3)＝ z1,z2,−
1−(z12＋z22)
これより，(1)の f の局所座標表示 f(z1,z2) は，
f οφx3<0-1(z )＝ z1＋z2−
1−(z12＋z22) ≡ f(z1,z2)
{ (z1,z2)∈ R2｜z12＋z22＜1 }
となります。これもC∞級の関数です。
［４］
例２
別の局所座標でも f を表してみます。
すでに前ページで計算した [#] ように，立体射影を用いて，
φN(x)＝y＝ X1 ， X2 ←同相写像 1-X3 1−X3
φN-1(y)＝(X1,X2,X3) ＝ 2y1 ， 2y2 ， y12＋y22−1 1＋y12＋y22 1＋y12＋y22 1＋y12＋y22
のように p ∈US は，２次元の局所座標 （y1，y2） によって表されました。したがって，
f οφ-1(y)＝ 2y1＋2y2＋y12＋y22−1) 1＋y12＋y22
＝ (y1＋1)2＋(y2＋1)2−3) ≡ f(y1,y2) 1＋y12＋y22
{ (y1,y2)∈ R2｜y12＋y22＜1 }
が関数 (1)の局所座標表示のひとつ f(y1,y2) となります。これはC∞級の関数です。
［５］ M上の Cs級関数 f の局所表示 f οφ-1(x) を f（x1,x2,…,xm) のように書いたり，その xj に関する偏微分を，
∂f（x1,x2,…,xm) ,，または， ∂f ∂xj ∂xj
と局所座標で表示することにします。
そこで，命題をひとつ。
| 命題
多様体 M の2つの Cr級座標近傍 [#] を （Uα，x1,x2,…,xm)，（Uβ，y1,y2,…,ym) とするとき，Uα∩Uβ (≠φ) において，
が成り立つ成り立つ。ここで，yk の xj に関する偏微分とは，座標変換の式： yk＝yk（x1,x2,…,xm) を xj に関して偏微分することである。 |
偏微分の変数変換のチェーンルールと同じです。⇒ [#]
上図をみると分かるように[*]は，fの導関数に対しての座標変換を表しています。
後に明らかになるように，
∂ ＝ ∂yk ･ ∂ ∂xj ∂xj ∂yk
は座標変換 (基底変換) の式となっています。
記号が混乱して申し仕訳けないのですが，例１，例２の２つの座標系に変数記号を合わせるために，上図の x を z と表記すれば，
f οφα-1(z )＝[ f οφβ-1(y )]ο[φβ(x ) οφα-1(z )]
＝ f (y )οy(z) ←y(z) は座標変換の式＝f (y(z))
書くことができます。これに，ユークリッド空間上の合成関数のチェーンルールを用いた偏微分を考えれば良いだけです。
∂f ＝ ∂yk ,･ ∂f ∂zj ∂zj ∂yk
例１，例２の具体的な関数を入れると，
f οφx3<0-1(z )＝[ f(x ) οφN-1(y )]ο[φN(x ) οφx3<0-1(z )]
ここで，
φx3<0-1(z )＝(X1,X2,X3)＝ z1,z2,−
1−(z12＋z22)
φN(x)＝ X1 ， X2 1-X3 1−X3
φN-1(y)＝ 2y1 ， 2y2 ， y12＋y22−1 1＋y12＋y22 1＋y12＋y22 1＋y12＋y22
f＝X1＋X2＋X3
より，
y(z)＝(y1，y2)＝ z1 ， z2
1＋ 1−(z12＋z22)
1＋ 1−(z12＋z22)
f (y ) ＝ (y1＋1)2＋(y2＋1)2−3) ≡ f(y1,y2) 1＋y12＋y22
と対応しています。これを用いて，
∂f ＝ ∂y1 ,･ ∂f ＋ ∂y2 ,･ ∂f ∂z1 ∂z1 ∂y1 ∂z1 ∂y2
を計算すればよいでしょう。
計算結果は，
f(z)＝ f οφx3<0-1(z ) ＝ z1＋z2−
1−(z12＋z22)
を直接微分する方法，
∂f ＝ 1＋ 2z1 ∂z1
1−(z12＋z22)
と一致することを確かめればよい。
［１］ 多様体 M 上の写像の値域が実数(1次元)の場合から m次元多様体 N の場合に拡張することを考えます。
Cr級写像の局所座標表示
| 定義 ［Cr級写像］
多様体 M と多様体 N の Cr級座標近傍をそれぞれ （Ux，x1,x2,…,xm)，（Uy，y1,y2,…,yn) とするとき，連続写像 f： M → N が f (Ux) ⊂ Uy を満たし， yk＝fk（x1,x2,…,xm） ， k＝1,2,…,n と局所座標表示され，yk が各変数 xj について Cs級であるとき，f の局所座標表示は Cs級であるという。 特に，p∈M，f(p)∈N であるとき，ｆ は p において Cs級であるという。 |
状況を図に描くと，下のようになります。
（ψοfοφ-1 ： U’x→U'y は f ：Ux→Uy の局所座標表示）
［２］ 多様体 M から N への写像に関する基本的な性質をあげておきます。
| 命題：
「連続写像 f： M → N が p∈M において Cs級である」 という性質は p を含む Cr級座標近傍，および，f(p) を含む Cr級座標近傍のとり方に依存しない。 |
これは，１．Cs級関数の性質 [#] と同様です。
特に，連続写像 f： M→N が任意の p∈M において Cs級であるとき，f を M の Cr級写像といいます。
| 命題：
M，N，Q を Cr級多様体とするとき， f： M→N がともに Cs級写像であるならば，その合成写像 gοf ： M→Q も Cs級写像である。( 0 ≦ s ≦ r )
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Cs級写像どおしの合成写像は，再びCr級写像となります。証明は簡単なので省略。
［３］
| 命題：
M の開集合からなる族 { Wγ}γ∈Γによって，
となっているとき，写像 f： M→N について，f の任意の Wγによる制限， f｜Wγ： Wγ → N がすべて Cs級ならば，f ： M→N は Cs級写像である。 ( 0 ≦ s ≦ r )
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［４］ 微分同相写像の定義です。
| 定義 Cs級微分同相写像
M，N を Cr級多様体とするとき，f ： M→N が， （１） 全単射 を満たすとき，f をCs級微分同相写像という。また，このとき，M と N は Cs級微分同相であるといい，M≡N と書く。このとき，MとNの次元は等しい。 |
”微分”という用語が付いているのは，M，Nともに，両方向へ写像に対して，s回連続微分可能であることからです。これはタダの同相写像に比べて強い制限を課しています。
微分同相写像ではない例
f(x)＝y＝x3 は， y∈R とx∈R の同相写像であるが，微分同相写像ではない。 逆関数 f-1(y)＝x＝y1/3 の微分 x＝y-2/3/3 は y＝0 で発散 (微分不可能) する。
