Appendix ４　うず，わき出しのない２次元ベクトル場
f-denshi.com  更新日：

［１］  勾配 grad，回転 rot ，発散 div とは何か，その物理的な意味を把握するためにベクトル場の中で最も重要な「うず，わき出しのない２次元ベクトル場」を例にとり，考えて見ます，

ベクトル場 A とその各点 を −90°回転させて得られる付随したベクトル場　A を，

A ＝(u(x,y),v(x,y))，　　A ＝(ｖ(x,y),-u(x,y))　　　　　　　　　

とします。

［２］　このとき，単連結な領域 Dで，常に rotＡ ＝0　であるとき，このベクトル場はうずのないベクトル場といいます。一方，常に divＡ ＝0 であるときはわき出しのないベクトル場といいます。ここで，うずなし，わき出しなしという言葉は，流体の流れ方を思い浮かべたときのその文字どおりの意味を示しています。

このような場については次の定理が成り立つことを確認しておきましょう。

定理１　うずのない場について次の3つは同値

･つねに，rotＡ ＝0　となる。(うずなしの定義)
･ポテンシャル関数　φ： grad φ＝A　となる φ が存在する。
･任意の閉曲線 C について   Ａ ･dr  ＝ 0

および，

定理２　わき出しのない場について次の3つは同値

･つねに，divＡ ＝0　なる。(わき出しなしの定義)
･流れの関数　ψ：　gradψ＝A 　となる ψ が存在する。ただし，A ＝(ｖ,-u)。　
･任意の閉曲線 C について   A ･dr ＝0

証明は，３次元の場合を参考 [#1]，[#2]　にしてもらうこととし，ここでは省略します。

［３］　さて，いま，ベクトル場 A が，わき出しがなく，うずも両方ともないとき，u(x,y)，v(x,y)について，

rotＡ ＝0　から

rotA ＝ ∂v − ∂u ＝0 ⇔ ∂(-u) ＝− ∂v    
∂x ∂y ∂y ∂x

divA ＝0　

divA ＝ ∂u ＋ ∂v ＝0 ⇔　 ∂(-u) ＝ ∂v
∂x ∂ｙ ∂x ∂ｙ

これら２つの方程式は，−u(x,y)，v(x,y)に関するコーシー･リーマンの関係式(またはコーシー･リーマンの方程式)と言います[#]。これら２式をもちいると，

∂2u ＋ ∂2u ＝ ∂　 ∂u ＋ ∂　 ∂u
∂x2 ∂y2 ∂x ∂x ∂y ∂y
  ＝− ∂　 ∂v ＋ ∂　 ∂v ＝0  
∂x ∂y ∂y ∂x

という計算ができます。ただし，はC2級関数[#]としています。同様に，

∂2v(x,y) ＋ ∂2v(x,y) ＝0　
∂x2　　 ∂y2

つまり，u(x,y)，v(x,y)それぞれはラプラス方程式を満足します。　

［４］　一方，

grad φ ＝A ＝(u,v) から

grad φ ＝ ∂φ ， ∂φ ＝(u,v)　　　⇔ ∂φ ＝u，　 ∂φ ＝v
∂x ∂y ∂x ∂y

grad ψ ＝ A 　＝(v,-u) から

grad ψ ＝ ∂ψ ， ∂ψ ＝(v,-u)　　⇔ ∂ψ ＝v，　 ∂ψ ＝-u
∂x ∂y ∂x ∂y

すなわち，

∂ψ ＝ ∂φ ＝v   ，   ∂φ ＝− ∂ψ ＝u
∂x ∂y ∂x ∂y
↓↑
∂(-φ) ＝− ∂ψ   ，   ∂(-φ) ＝ ∂ψ
∂y ∂x ∂x ∂y

最後の式は，−φ(x,y)，ψ(x,y)とがコーシー･リーマンの関係式を満たすことを示しているので，φ(x,y)，ψ(x,y)もラプラス方程式を満たしています。

［５］　まとめると，

うずとわき出しの両方とも存在しないベクトル場の特徴：
( I )   ∂(-u(x,y)) ＝ ∂v(x,y)
かつ，
 ∂(-u(x,y)) ＝− ∂v(x,y)
∂x ∂y ∂y ∂x
( II )   ∂2u(x,y) ＋ ∂2u(x,y) ＝0　　　 ∂2v(x,y) ＋ ∂2v(x,y) ＝0　　　
∂x2　　 ∂y2 ∂x2　　 ∂y2
( I )’   ∂(-φ(x,y)) ＝ ∂ψ(x,y)
かつ，
 ∂(-φ(x,y)) ＝− ∂ψ(x,y)
∂x ∂y ∂y ∂x
( II )’   ∂2φ(x,y) ＋ ∂2φ(x,y) ＝0　　　 ∂2ψ(x,y) ＋ ∂2ψ(x,y) ＝0　　　
∂x2　　 ∂y2 ∂x2　　 ∂y2
ここで，複素速度ポテンシャル ： Ｆ ＝ -φ＋i ψ　なるものを考えると，これは正則関数になる！　⇒[#]

ということで，渦なし，わき出しなしということが複素関数論における正則関数と密接に関係あることがわかりました。

［目次へ］

CopyRight　フジエダ電子出版

［６］　渦，わき出しのない場の例をあげておきましょう。

例１

A (u(x,y),v(x,y))   ＝( 2x,-2y)
A ( ｖ(x,y),-u(x,y))＝(-2y,-2x)
rotＡ ＝divA ＝0　　
ポテンシャル関数
(破線)		 流れ関数
　(黄実線)
φ＝(x2-y2) ψ＝ -2xy

実際に計算して次のように確かめられます。

grad φ ＝ ∂φ ， ∂φ ＝(2x,-2y)＝A
∂x ∂y

grad ψ ＝ ∂ψ ， ∂ψ ＝(-2y,-2x)＝A
∂x ∂y

複素速度ポテンシャルを考えると，

F(x,y)＝-φ＋i ψ＝−(x2-y2)−2xyi ＝−(x＋i y)2＝-z2

つまり，このベクトル場は正則関数　F(z)＝−z2 と同値 [#]

例２　　中心力の場

A (u(x,y),v(x,y))   ＝χ(r)( x−x0,y−y0)
A ( ｖ(x,y),-u(x,y))＝χ(r)( y−y0,-(x−x0))

x0＝0，y0＝０ として説明します。つまり，ベクトル場を，

A (u(x,y),v(x,y))＝χ(r)( x,y)＝χ(r)r

とします。

|r |＝r＝
 x2＋y2
∂r ＝ ∂
 x2＋y2
＝ x ＝ x
∂x ∂x
 x2＋y2
ｒ

回転は，

rotA ＝ ∂ (χ(r)･y )− ∂ (χ(r)･ x )
∂x ∂y
         ＝ dχ(r) x ･y − dχ(r) y ･x ＝ 0
dr r dr r

つまり，中心力の場にうずはない。一方，

divA ＝ ∂ (χ(r)･x )＋ ∂ (χ(r)･y )
∂x ∂y
       ＝ dχ(r) ･ x2 　＋ ∂χ(r) ･ y2  ＋ 2χ(r)
dr r ∂r r
＝χ(r)r ＋ 2χ(r)

divA ＝0　であるためには，

χ(r)＝ c 　　　∴　　A ＝ c r
r2 r2

でなければなりません。これを中心力のポテンシャル場といいます。

grad log r ＝ r-2r

より，ポテンシャル関数は，

φ＝c　log　r

CopyRight　フジエダ電子出版

渦のあるベクトル場