Appendix１ ベクトル場
f-denshi.com  最終更新日：03/05/14

［０］　物理，工学などへの応用的を考えると，ベクトル場が位置の関数：A (r)　として与えられるケースがもっとも一般的です。具体的には，重力やクーロン力などに使われる

F (r)＝k・	r	；　k　定数
	|r | 3

などがあります。もちろん，これは，線形写像(r　⇒ F (r)) とはなっていません。しかし，ある条件のもとでは局所的に線形写像とみなすことが可能で，

A (r)＝Ar ＋B ⁰　  ；　B ⁰ は定数ベクトル

として取り扱うことができます。ここではその背景について述べます。

［１］　C¹写像Φ：(u，v) ⇒ (x，y) において十分小さな領域を取り出して考えるならば，初等解析学の教えるところによると，この写像の定義域，値域の微分量は近似的にヤコビ行列を用いた線形写像で，

	Δx		＝		ｘu(u0，A0))	xv(u0，v0)			Δu		･････[*]
	Δｙ				yu(u0，A0)	yv(u0，v0)			Δv

と結び付いていることを思い出しましょう。　　　復習は ⇒ 実数解析入門 11章[#]

このヤコビ行列を J(Φ)_a,b と書くことにします。

［２］　ここの「 ベクトル解析 」で使っている記号に改めて，u→x，v→y，および，x→A₁，y→A₂　と書き直しましょう。
すると，C¹写像：(x，y)⇒(A₁，A₂)　および，A ＝A (A₁(r)，A₂(r))＝Φ(r) となり，局所的に成り立つ関係[*] は

	ΔA1		＝A		Δx
	ΔA2				Δy

または，

ΔA AΔr 　⇔　A −A ⁰ ＝ A(r −r₀)
          ⇔  A ＝Ar ＋(A ⁰−A r₀)

となります。ただし，

r ＝ x y

，r0＝ x0 ，Δr ＝ x−x0 y0 y−y0

，A ＝ A1 A2

，A0＝ A01 A02

および，A はヤコビ行列[#]で，

A ＝		∂A1 ∂x x＝x0,y＝y0	∂A1 ∂y x＝x0,y＝y0		＝		∂A1 ∂x	∂A1 ∂y		≡ A1x A1y A2x A2y
		∂A2 ∂x x＝x0,y＝y0	∂A2 ∂y x＝x0,y＝y0				∂A2 ∂x	∂A2 ∂y

というのが記号の意味です。  (↑　A_2x とは A₂ のxに関する偏微分という意味です。)

［３］　結局，C¹写像： Φ(r )＝A (r)は，局所的には，線形写像

A (r)＝Ar ＋B 0　　　；　B 0 は定数ベクトル

で近似できます。　　　(　記号だけの問題ですが，A⁰−Ar₀　⇒　B ⁰　と改めています。)

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