５-2　直交曲線座標(補足･証明)
f-denshi.com  最終更新日：07/08/09

公式３の証明

公式３-(1)

∂eu ＝− 1 ･ ∂hu ev− 1 ･ ∂hu ew
∂u hv ∂v hw ∂w
∂eu ＝ 1 ･ ∂hv ev  ･･[*]
∂v hu ∂u
∂eu ＝ 1 ･ ∂hw ew
∂w hu ∂u

証明　どれも同じような計算をするだけなので，真ん中の[*]についてのみ示します。

eu，ev，ew　が連続微分可能[#]という条件下では，　hueu＝ ∂r 　と
∂u
∂r ＝hvev　とから，
∂v
∂ 　 ∂r ＝ ∂ 　 ∂r
∂v ∂u ∂u ∂v

とすることができます。したがって，

∂ ∂r ＝ ∂ (hueu)＝ ∂hu eu＋hu ･ ∂eu
∂v ∂u ∂v ∂v ∂v
∂ ∂r ＝ ∂ （hvev）＝ ∂hv ev＋hv ･ ∂ev
∂u ∂v ∂u ∂u ∂u

の右辺は等しく，

∂hu eu＋hu ･ ∂eu ＝ ∂hv ev＋hv ･ ∂ev
∂v ∂v ∂u ∂u
この両辺に ev をかけて，ev･eu＝ 0， ∂ev ･ev ＝ 0 に注意すれば，
∂u
　 hu 　 ∂eu ev＝ ∂hv →
書き直して		 ∂eu ＝ 1 ･ ∂hv ev  　　　････　[*]
∂v ∂u ∂v hu ∂u

が得られます。

直交曲線座標系での発散

divA ＝ ∇A ＝ 　　1 ∂(hvhwAu) ＋ ∂(hwhuAv) ＋ ∂(huhvAw)
huhvhw 　　　∂u 　　　∂v 　　　∂w

の証明です。　まず[#]，

∇ 　＝∇＝ eu ∂ ＋ev ∂ ＋ew ∂
hu∂u hv∂v hw∂w
A  ＝Aueu＋Avev＋Awew

と分配法則を用いれば，

∇A  ＝∇･(Aueu＋Avev＋Awew)
    ＝{(∇Au)･eu＋Au(∇･eu)} ＋ {(∇Av)･ev＋Av(∇･ev)} ＋ {(∇Aw)･ew＋Aw(∇･ew)}

という６つの項が現れます。そこで，

第１項

(∇Au)･eu ＝ 1 ･ ∂Au eu＋ 1 ･ ∂Au ev＋ 1 ･ ∂Au ew ･eu ＝　 1 ･ ∂Au
hu ∂u hv ∂v hw ∂w hu ∂u
         ＝　 (hvhw) ･ ∂Au
huhvhw ∂u

第２項

 Au(∇･eu)  ＝Au eu ･ ∂ eu＋ ev ･ ∂ eu＋ ew ･ ∂ eu
hu ∂u hv ∂v hw ∂w
                   ↓　　 公式３の(1)を用いて,
            ＝Au eu ･ ∂ eu＋ ev ･   ∂hv ev＋ ew ･ ∂hw ew
hu ∂u hv hu∂v hw hu∂u
            ＝Au 0   ＋   1 ･ ∂hv ＋ 1 ･ ∂hw
hvhu ∂u hwhu ∂u
　　　　　  ＝Au 1 ･ ∂(hvhw)
huhvhw ∂u

これから，第１＋第２項は，

　第１項＋第２項＝　 1 ･ ∂(Auhvhw)
huhvhw ∂u

同様に　公式３ の(2)，(3)を用いて，

　第３項＋第４項＝　 1 ･ ∂(huAvhw)
huhvhw ∂v
　第５項＋第６項＝　 1 ･ ∂(huhvAw)
huhvhw ∂w

が得られます。これらを全部，足し合わせれば,∇Aの右辺となります。

直交曲線座標系での回転

rotA＝ ∂(hwAw) − ∂(hvAv) eu＋ ∂(huAu) − ∂(hwAw) ev＋ ∂(hvAv) − ∂(huAu) ew
hvhw∂v hvhw∂w hwhu∂w hwhu∂u huhv∂u huhv∂v

の証明です。

∇ 　＝∇＝ eu ∂ ＋ev ∂ ＋ew ∂ 　；　A  ＝Aueu＋Avev＋Awew　
hu∂u hv∂v hw∂w

分配法則を使って，

∇×A ＝∇×(Aueu＋Avev＋Awew)
      ＝　−{(eu×∇)Au＋(ev×∇)Av＋(ew×∇)Aw}
　　　　　　　　　　　　　　　　　＋{(Au(∇×eu)＋Av(∇×ev)＋Aw(∇×ew)}
      ＝−{*}＋{**}

まず，１つ目の中括弧{*}は，eu×ev＝ew，ev×ew＝eu ，ew×eu＝ev をもちいると，

(eu×∇)Au＝eu× eu ∂ ＋ev ∂ ＋ew ∂ Au
hu∂u hv∂v hw∂w
         ＝ 0 ＋ew ∂Au −ev ∂Au
hv∂v hw∂w

および，

(ev×∇)Av＝−ew ∂Av ＋eu ∂Av
hu∂u hw∂w
(ew×∇)Aw＝ev ∂Aw −eu ∂Aw
hu∂u hv∂v

の３つの項からなるので，

−{*}＝

 ∂Aw − ∂Av eu＋ ∂Au − ∂Aw ev＋ ∂Av  − ∂Au ew
hv∂v hw∂w hw∂w hu∂u hu∂u hv∂v

一方，２番目の中括弧{**}の第１項は，公式３ の(1)を用いて，

Au(∇×eu)＝Au eu ∂ ＋ev ∂ ＋ew ∂ ×eu
hu∂u hv∂v hw∂w
           ＝Au eu× ∂eu ＋ev× 1 ･ ∂hv ev ＋ew× 1 ･ ∂hw ew
hu∂u hvhu ∂u hwhu ∂u
           ＝ Au eu× ∂eu  ＋ 0 ＋ 0
hu ∂u
           ＝ Au eu× − 1 ･ ∂hu ev− 1 ･ ∂hu ew
hu hv ∂v hw ∂w
           ＝ − Au ･ ∂hu ew＋ Au ･ ∂hu ev
huhv ∂v huhw ∂w

および，第２，３項も公式３を用いて，

Av(∇×ev)＝ Av ･ ∂hv ew− Av ･ ∂hv eu
hvhu ∂u hvhw ∂w
Aw(∇×ew)＝ Aw ･ ∂hw eu− Aw ･ ∂hw ev
hwhv ∂v hwhu ∂u

したがって，

{**}  ＝   Aw ･ ∂hw − Av ･ ∂hv eu
hwhv ∂v hvhw ∂w
          ＋ Au ･ ∂hu − Aw ･ ∂hw ev＋ Av ･ ∂hv − Au ･ ∂hu ew
huhw ∂w hwhu ∂u hvhu ∂u huhv ∂v

先程の計算と合わせて，

−{*}＋{**} ＝

 ∂Aw − ∂Av eu＋ Aw ･ ∂hw − Av ･ ∂hv eu ＋　･････
hv∂v hw∂w hwhv ∂v hvhw ∂w
             ＝ 1 ∂ (hwAw)− ∂ (hvAv) eu
hvhw ∂v ∂w
　　　           ＋ 1 ∂ (huAu)− ∂ (hwAw) ev＋ 1 ∂ (hvAv)− ∂ (huAu) ew
hwhu ∂w ∂u huhv ∂u ∂v

証明，終わり


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別証

　ヒントだけ：
　　　　基底{eu，ev，ew}は[*]からわかるように正規直交性があり，［６］の結果 [*] も用いて，

eu　＝ev×ew　＝hvhw∇v×∇w
ev　＝ew×eu　＝hwhu∇w×∇u
ew　＝eu×ev　＝huhv∇u×∇v
これらをもちいると，ベクトルA の各座標系での成分は，
A ＝ (Ax，Ay，Az) ＝ ［ Au，Av，Aw ］ ＝ Aueu ＋ Avev ＋ Awew
　 ＝ Auhvhw∇v×∇w ＋ Avhwhu∇w×∇u ＋ Awhuhv∇u×∇v
あとは∇の分配法則など２章の公式たちを用いて骨の折れる計算を進めると⇒にたどり着きます。

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