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９ ルベーグ積分の定義(２) |
| f-denshi.com 最終更新日：11/07/12 最後に問題を追加 | |
［１］ まず，単関数の積分の定義，
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定義： X＝A1∪A2∪･････An として，
(２) 一般的に可測な集合 E 上での積分， と定義する。 |
１章のディリクレ関数の例で具体的に計算すれば， X ＝ R ＝ Q(有理数)∪ Ri(無理数)
η(x)＝1･e(x,Q)＋0･(x,Ri)
となります。 そして，E＝［0,1］ 上の積分は，
η(x)m(dx)＝1･m(Q∩[0,1])＋0･m(Ri∩［0,1］)
＝1･m(区間[0,1]の有理数)＋0･m(区間［0,1］の無理数)
＝1･0＋0･1
＝0
［２］ 単関数の積分の性質： 単関数η(x)，ψ(x) について，(11/07/07 以前のコピペの残骸的数式を訂正↓)
(１)η(x)≧ψ(x)≧0 ⇒ η(x)m(dx)≧ ψ(x)m(dx)
(２) ｛αη(x)＋βψ(x)｝＝α η(x)m(dx)＋β ψ(x)m(dx)
(３) E∩F＝φ ⇒ η(x)m(dx)＋ η(x)m(dx)
など。
［３］ 次にこれをもとに可測関数の積分の定義，つまり，ルベーグ積分の厳密な定義を示します。
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定義： 可測関数 ｆ(x)≧0 の可測集合 E 上の積分とは，
とする。 ただし，上限をとる際に， 0≦η(x)≦f(x) をみたす単関数η(x)すべてについて考慮する。 |
前章で述べておいた [#] ように，f(x)が可測関数ならば，単調増加する単関数列， 0≦η1(x)≦η2(x)≦ ････ が存在して，
ηk(x)＝f(x)
となります。 そこで，上極限が f(x) となるような単関数を利用して f(x) の積分を定義しようということなのです。ただし，「sup」というのが漠然としているので，「定義のための定義」であることは致し方ありません。具体的な計算方法は最後の問題を参照してください。
［４］ なお，ｆ(x) がマイナスの値をとるときは，次のように積分を定義します。
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定義： f+(x)＝Max(f(x),0 )として，可測集合 E 上の積分を定義する。
このとき，
が成り立つとき，f(x) を E 上の可積分関数と言う。 |
この定義は，便宜的なもので深い意味はありません。 また，基本的な性質として次のような関係が成り立ちます。
(１) ｜f(x)｜m(dx)＝ f+(x)m(dx)＋ f-(x)m(dx)
(２) ｛αf(x)＋βg(x)｝m(dx)＝α f(x)m(dx)＋β g(x)m(dx) ただし，E∩F＝φ
(３) f(x)m(dx)＝ f(x)m(dx)＋ f(x)m(dx)
［５］
問題： 関数 y＝f(x)＝x の区間[0,1]における積分を単関数を利用してルベーグ積分せよ。(11/07/12)
x m(dx)
解答：
y軸(y≧0)を，積分範囲におけるf(x)の最小値，最大値を考慮し，区間 [0,1) を2n の幅で分割した，[k/2n，(k+1)/2n)，k=0,1,･･･,2n-1 とそれ以上の領域に分ける。ただし，n＝1,2,･･･。
すると，この区間で，f(x)＝x に収束する単関数の増加列として，
ηn(x) ＝
k/2n ←akのこと ････ f(x)∈[k/2n，(k+1)/2n) ，k=0,1,･･･,2n-1 0 ････ k＞2n-1 ←積分範囲外なので考えなくともよいから。
を選ぶことができる(下図参照)。 一方，定義域の分割は，f(x)＝x の逆関数を考えて，
f-1 { k ， k+1 } ＝ { x∈[0,1] ←Eのこと： k ≦x≦ k+1 ←Akのこと } 2n 2n 2n 2n
すなわち，x軸の領域 [0,1] は，X＝A0∪･･･∪Ak-1，ただし，Ak＝[k/2n，(k+1)/2n) と分割され，Akの測度(長さ)m(Ak∩E)はいずれも2-nである。よって，ηn(x)の積分値は，
2n-1 Σ k=0 ak･m(Ak∩E)＝
2n-1 Σ k=0 k ･2-n ＝ 2n(2n−1) 2-2n ＝ 1−2-n 2n 2 2
となる。ここで，n→∞ (supをとるということ) として，1/2 (答) を得ます。
以上のようにルベーグ積分の計算は簡単な関数に対しても面倒臭いし，逆関数が初等関数でないと思考停止することも多い。
