ときわ台学/ルベーグ積分/ちゃんとした定義

	９　ルベーグ積分の定義(２)
f-denshi.com 最終更新日：04/12/19

［１］　まず、単関数の積分の定義、

定義：　　X＝A₁∪A₂∪･････A_n　として、

(１)　単関数[#]：η(x)＝a₁e(x、A₁)＋a₂e(x、A₂)＋････＋a_ne(x、A_n) の X 上の積分を、

η(x)m(dx)＝ a_km(A_k)

(２)　一般的に可測な集合 E 上での積分、

η(x)m(dx)＝ a_km(A_k∩E)

と定義する。

１章のディリクレ関数の例で具体的に計算すれば、 X ＝ R ＝ Q(有理数)∪ R_i(無理数)

η(x)＝1･e(x、Q)＋0･(x、R_i)

となります。　そして、E＝［0、1］上の積分は、

η(x)m(dx)＝1･m(Q∩[0、1])＋0･m(R_i∩［0、1］)

＝1･m(区間[0、1]の有理数)＋0･m(区間［0、1］の無理数)
＝1･0＋0･1
＝0

［２］　単関数の積分の性質：単関数η(x)、ψ(x) について、

(１)η(x)≧ψ(x)≧0　⇒　 η(x)m(dx)＝sup ψ(x)m(dx)

(２) ｛αη(x)＋βψ(x)｝＝α η(x)m(dx)＋β ψ(x)m(dx)

(３) E∩F＝φ　⇒ ｛η(x)m(dx) η(x)m(dx)＋ η(x)m(dx)

など。

［３］　次にこれをもとに可測関数の積分の定義、つまり、ルベーグ積分の厳密な定義を示します。

定義：

可測関数　ｆ(x)≧0　の可測集合 E 上の積分とは、

f(x)m(dx)＝sup η(x)m(dx)＝sup a_km(A_k∩E)

とする。ただし、上限をとる際に、

0≦η(x)≦f(x)

をみたす単関数η(x)すべてについて考慮する。

前章で述べておいた [#] ように、f(x)が可測関数ならば、単調増加する単関数列、 0≦η₁(x)≦η₂(x)≦　････　が存在して、

η_k(x)＝f(x)

となります。　そこで、上極限が f(x) となるような単関数を利用して f(x) の積分を定義しようということなのです。ただし、「sup」というのが漠然としているので、「定義のための定義」であることは致し方ありません。

［４］　なお、ｆ(x) がマイナスの値をとるときは、次のように積分を定義します。

定義：

可測関数　f(x)については、

f⁺(x)＝Max(f(x)、0 )
f^-(x)＝Max(-f(x)、0 )

として、可測集合 E 上の積分を定義する。

f(x)m(dx)＝ f⁺(x)m(dx)－ f^-(x)m(dx)

このとき、

f⁺(x)m(dx)＜∞　　、 f^-(x)m(dx)＜∞

が成り立つとき、f(x) を E 上の可積分関数と言う。

この定義は、便宜的なもので深い意味はありません。　また、基本的な性質として次のような関係が成り立ちます。

(１) ｜f(x)｜m(dx)＝ f^＋(x)m(dx)＋ f^-(x)m(dx)

(２) ｛αf(x)＋βg(x)｝m(dx)＝α f(x)m(dx)＋β g(x)m(dx)

(３) f(x)m(dx)＝ f(x)m(dx)＋ f(x)m(dx)

　　　ただし、E∩F＝φ

［５］　ここまではあくまでも「定義のための定義」。　ルベーグ積分をもっと実行可能な姿にするためには、次章の収束定理が重要となります。