412  ラゲールの微分方程式
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１．　ラゲールの微分方程式　　( 0≦x＜∞、n＝0、1、2、･･･ )

d x exp (－x) d y(x)＋n exp (－x )y(x) ＝ 0
dx dx

［１］  ラゲール (Laguerre) の微分方程式とは、n ≧ 0 なる整数とし、

ラゲールの微分方程式　　　

　xy''(x)＋(1－x)y' ＋ ny　＝　0           ；    n ≧ 0 なる整数
の解、y ＝Ln(x) はラゲール多項式と呼ばれ、次式で与えられる。
Ln(x) ＝ ex dn  ( xn e-x )　　　　　　　［ロドリゲスの公式］
dxn

具体的な値は

L0(x) ＝ 1
L1(x) ＝ －x＋1
L2(x) ＝　x2－4x＋2
L3(x) ＝ －x3＋9x2－18x＋6
L4(x) ＝　x4－16x3＋72x2－96x＋24
L5(x) ＝－x5＋25x4－200x3＋600x3＋600x＋120
Ln(x) ＝ (n!)2  (- x )k　
(k!)2(n-k)!
注意：　Ln(x) → Ln(x)/n! で定義することもある。


母関数

F(t、x) ≡ 1 exp －xt  ＝ Ln(x) ･ tn　　　 ･･･  [*]  
1－t 1－t n！

漸化式等

Ln＋1(x) ＝(2n＋1－x)Ln(x) － n2Ln－1(x)
xL'n(x) ＝ nLn(x) － n2Ln－1(x)
L'n(x) － nL'n－1(x) ＋ nLn－1(x) ＝　0

正規直交性

 exp(－x) Lm (x) Ln (x) dx ＝
0     　･･････  (m≠n)
(n！)2 　　　･･････  (m＝n)

級数展開

f(x) ＝ ckLk(x)
ck ＝ 1 exp(－x)f(x)Lk (x)dx
(k！)2

加法公式

昇降演算子





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