2-2　複素指数関数と対数関数
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１．指数関数と対数関数

［１］　オイラーの関係式[#]にもとづいて複素数上で指数関数：　z ⇒ w ＝e^z 　を定義することができます。その際，z ＝x＋yi　はオイラーの関係式を用いた計算で，

w　＝e^x＋yi　＝　e^x･e^yi　＝e^x(cosy＋i siny)＝(e^xcosy)＋i (e^xsiny)

のように一つの複素数に対応させることができます。このとき，指数関数の定義域は複素数全体となります。１次関数を調べたときに倣って，z平面上の直線がどのようにw平面上へ移されるのか調べてみましょう。

ケース１　　z ＝ 1　のとき，すなわち，z平面で，

x ＝ 1，　　-∞≦y≦+∞

と表される直線(右図の赤い垂直線)は，指数関数によって，w平面上の

w ＝e(cosy＋i siny)，

に移されます。すなわち，極表示　w＝r(cosθ＋i sinθ)で，

r　＝　e　(一定)，　　-∞≦θ≦+∞

なる円(右図の赤い円)に移されます。ただし，n＝整数，0≦y₀＜2πとして，

(x，y)＝(1，y0＋2nπ)	⇒	(r，θ)＝(e，y0)
(無限個の点)		(一点)

となるので，これは1対1写像になっているわけではありません。虚数方向に2πの周期性をもっています。

ケース２　　y ＝y₀　，0≦y₀＜2π　のとき，すなわち，z平面で，

-∞≦x≦+∞，　y ＝y0

と表される直線(右図の黄＋水＋緑の水平線)は，指数関数によって，w平面上の

w ＝e^x(cosy₀＋i siny₀)，

に移されます。すなわち，極表示　w＝r(cosθ＋i sinθ)で，

0＜ r ≦+∞，　θ＝ y0　(一定)

なる半直線(黄＋水＋緑の直線)に移されます。ただし，n＝整数，0≦y₀＜2πとして，

(x，y)＝(x，y0＋2nπ，)	⇒	(r，θ)＝(ex，y0)
(無限本の直線)		(一本の半直線)

となるので虚数方向に2πの周期性をもっています。

［２］　ケース1でみた周期性と合わせて，

指数関数の周期性： 　　　　　ez＋2nπi　＝　ez

［３］　複素数上の対数関数は指数関数の逆関数として定義します。すなわち，

z＝e^w　　　⇔　　log z＝w　

このとき，実数上では正の実数に限られていた対数関数の定義域が，複素数上では 0 を除く複素数全体，つまり，マイナスの実数に対しても対数が定義可能になっていることに注意しましょう。これは　log(-1) のような値を考えることが可能になったことを意味しています。

関数		定義域	値域
実数	指数	実数	正の実数
	対数	正の実数	実数
複素数	指数	複素数	0以外の複素数(マイナスの実数含む)
	対数	0以外の複素数(マイナスの実数含む)	複素数

［４］　また，複素数上で指数関数が∞対 1 の対応を示すことから複素数上の対数関数は，1対∞ の対応を示します。すなわち，複素数上では対数関数は多価関数なのです。先の例であれば，-1 に対して，

　log(-1)　＝πi＋2nπi　　　　⇔　　　−1 ＝ e^πi＋2nπi　　　：　n＝整数

と無限に多くの個数の値が対応します。

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