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３ 連続関数と微分可能性 | |
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［１］ ある区間 M 上の点 a において，「関数 f(x)が a で連続である。」 とは，
「 a に近づく任意の点列： x1，x2，･･･xn，･･･ に対応する像の点列： f(x1)，f(x2)，･･･，f(xn)，･･･が f(a) に収束する。 」
⇔
「 xn → a のとき， f(xn) → f(a) 」 ← 簡単にはこう書きます。
ということになります。ε-δ論法を使うならば，
 (１) 点 a で連続：どんな正数εをとってもある正数δが存在して， 0＜｜x−a｜＜δ ⇒ ｜f(x)−f(a)｜＜ε が成り立つとき， 「 関数 f(x)は a で連続である 」 (２) 区間 M で連続： 区間 M のすべての点で関数f(x) が連続であるとき， 「 f(x)は Mにおける連続関数である。」 と言います。 |
［２］ 連続関数の中で特に与えられたεに対して点 a に依存しないδ，つまり，考えている区間 M において共通して使える δを一つ定めることができるとき，この関数はその区間で一様連続な関数であるといいます。厳密に書くと，次のようにいえます。
| 一様連続： どんな正数εをとってもある正数δが存在して， 0＜｜b−a｜＜δ ⇒ ｜f(b)−f(a)｜＜ε が区間 M の任意の点 a，b について成り立つ。 |
［４］ 連続関数のもっとも基本的な特徴を２つ挙げておきましょう。
| 定理 (１) 閉区間［a，b］で定義された連続関数は有界であって最大値と最小値を取る。［ 最大値の定理 ］ (２) 閉区間［a，b］で定義された連続関数はこの区間上で一様連続である。 |
［ 証明 ］ (１)
(ステップ I ) 連続関数 f(x)は有界である⇔上限 M，(下限 m )をもつことを背理法で示します。
f(x) が上に有界でない と仮定すると，f(p0)＝r ＞0 なる点 p0 が必ず [a,b] に存在します。さらに，f(p1) ＞ 2f(p0) なる点 p1 が存在し，同様にして，
0 ＜ r ＜ f(p0) ＜ f(p1) ＜ ････ ＜ f(pn) ＜ ････ ，ただし，f(pn) ＞ 2n･f(p0)
を満たす無限の点列 ｛pn｝ が閉区間 ［a,b］ の中に存在し，この区間に集積点をもちます[#]。
そこでその一つを P とし，｛pn｝ からとった P に収束する部分列を ｛ P1，P2，････ ｝ とします。すると，f(x) が連続関数であることから，k→∞ のとき，f(Pk) → f(P) と収束しなければなりません。ところが，
f(Pk) ≧ f(pk) ＞ 2k･f(p0)
なので，f(Pk) は k→∞ で発散します。矛盾！ よって，f(x)は上に有界で上限 M をもちます。下限の存在も同様です。
(上限･下限[#]の存在と最大値･最小値の存在は別なのでステップ２の証明が必要です)
(ステップ II ) f(p) ＝ M なる p ∈ ［a，b］ が存在することを背理法で示します。
もし，どんな p ∈ ［a，b］ についても，f(p) ≠ M であるならば，関数： F(x) ＝ 1/(f(x)−M) はこの閉区間で連続関数となります。ところが，上限の定義から f(x)−M はいくらでも 0 に近づけることができる，これは，｜F(x)｜がいくらでも大きくなり，有界でないことを示しています。これはステップ I に矛盾します。すなわち，f(p) ＝ M となる p が閉区間 ［a，b］ に存在する，言い換えると，p において最大値M をとることがわかりました。最小値の存在も同様です。
この定理は，定義域を一般化(抽象化)された閉集合に拡張して，
(１)' 閉領域 M で定義された連続関数は有界であって最大値と最小値を取る。
(２)' 有界閉領域 M 上の連続関数はこの領域で一様連続である。
と述べることができます。
［証明］ (１)'，(２)' 一般化された最大値の定理は集合論の中で説明しています ⇒ [#]
［１］ 前置きが長くなりましたが，いよいよ微分の定義です。
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f(x)を定義域 M で定義された関数とする。このとき，極限値 が存在するとき，「 f(x)は点 a で微分可能 」といい，その値を微分係数と呼び， f'(a) と書く。 |
もう少し丁寧に言うと，h を正数として，
f(a＋h)−f(a) ； a∈M h
が存在するとき，「 f(x)は点 a で右から微分可能 」といい，その値を右からの微分係数と呼び， f'+(a) と書きます。さらに，
f(a-h)−f(a) ； a∈M -h
が存在するとき，「 f(x)は点aで左から微分可能 」といい，その値を左からの微分係数と呼び， f'-(a) と書きます。そして，
f'+(a) ＝f'-(a)
のとき， f(x)は点 a で微分可能 」といい，その値を微分係数と呼び， f'(a) と書きます。
［２］ 上の定義は一点 a に置ける微分可能性について述べたものですが，ある区間 M の任意の点 a について微分可能であるとき，a を変数らしく x と書いて，導関数 f'(x)と書きます。もちろん，x∈M。また，微分係数の別の表現として，
微分係数Aの定義 ： 適当な定数A が存在して， h→0 ⇒ f(a＋h)−f(a)＝Ah ＋ o(h)と書ける。
といった表現も使われます。o(h)は h より高位の無限小である任意のh の関数です[#]。
［３］ 連続関数と微分可能な関数との関係
| 定理 ある区間M で定義された関数f(x)が微分可能ならば，この区間でf(x)は連続である |
関数f(x)が点a∈Mで微分可能ならば，適当な定数A が存在して，
h → 0 ⇒ f(a＋h)−f(a) ＝ Ah ＋ o(h)
したがって，
h → 0 ⇒ f(a＋h)−f(a) → 0
［４］ この定理の逆は成り立ちません。連続でも微分できない関数は無数にあります。いくつか例を挙げておくと，
(１) fｎ(x)＝
xnsin 1 ( x≠0 ) x 0 ( x ＝0)
を考えます。ただし，n＝1，2，･･･とします。すると，
xnsin 1 ＜ ｜xn｜ x
より，fｎ(0)＝0 とすれば，fｎ(x)は，n＝1，2，･･･ において連続関数ですが，
x＝0 における微分可能性は，
f'ｎ(0)＝ 微分不可能 (n＝1) 0 (n≧2)
となります。 ⇒ 証明 [#]
もっと，極端な例としては，”いたるところで微分不可能な連続関数”なんかも見つかっています。
| (２) f(x)＝ |  |
ancos(bnπx)； 0＜a＜1， b：奇数， ab＞1＋(3π/2) ［ワイエルストラウス］ |
| (３) f(x)＝ |  |
2-nsin(2nπx) ［セレリエ］ |
(４) フォン･コッホ曲線
参考：
「数学１００の発見（数学セミナー編集部偏）」，p.159，奇妙な曲線，松本一信，日本評論社（1998年）．
［５］ 関数の微分公式を２つここで書いておきましょう。
合成関数の微分公式です。 z(x)＝z(y(x)), のとき，
dz ＝ dz ･ dy dx dy dx
［６］ 逆関数の微分公式
dy ＝ 1 dx
dx dy
［１］ 関数f(x)に導関数が存在する場合，その導関数について再び微分可能性を議論できます。導関数に導関数が存在する場合，それを２階導関数，または2次導関数といいます。さらに一般化して高い次数のn階導関数を考えることもできます。
身近な関数：有理関数，三角関数，指数関数など，たいていの関数は無限階微分可能です。すると，1回微分可能ならば，何回でも微分可能でないかと思いたくなりますが，1回微分可能でも２回目はダメというのはいくらでもあります。たとえば，次の関数です。
y ＝
x2 2 (x≧0) −
x2 2 (x＜0)
を微分すると，
y'＝ x (x≧0) −x (x＜0)
ですが， y'(0)＝0 (y'＝傾き0)で，y' は x＝0 で滑らかにつながっているので連続関数です。しかし，この関数 y'は，x ＝ 0 でトンガっている(上図)ので，y”は存在しないことがわかります。こういった関数は熱力学で２次相転移を記述するときにでてきます。ルーチン的にこのような関数をいくらでも作る方法があるのですが，それは積分を勉強してからにしましょう。⇒[#]
［１］ まず，この定理を書きましょう。
| ［ ロルの定理 ］ 閉区間［a，b］で定義された関数f(x) が， (１) 閉区間 ［a，b］ で連続 (２) 開区間 (a，b) で微分可能 (３) f(a)＝ｆ(b) ならば， f '(a＋θ(b−a)) ＝ 0 となる θ(0＜θ＜1) が存在する。 |
この定理の意味するところは，”高さ”の等しい２点A，B を結ぶ滑らかな連続曲線を考えると，傾きが0 となる点が，A とB の間に少なくとも一つは存在することをいっています。下図で言えば，黄色の曲線では一箇所，白い曲線では二箇所傾き0 の点があります。
この定理でいう閉区間とはもちろん実数の集合をさしています。条件(１)はそういう意味も込めて連続と言っているのです。そうでないとこの定理が成立しないことは，例えば，
関数： f(x) ＝ -x(x＋2)(x−2) を [-2，2] で考え，微分すると， y'＝ -3X2＋4
なので，有理数の集合の中だけで考えていたのでは極値をとるときの x の値を見出すことができません(図B)。
(こんなところでも実数の連続性[#]が活躍しているのです！)
(２)の微分可能性の意味することは，もし，微分可能でない点，つまりとがった点が存在すると，傾き
0 の点は必ずしも存在しないと言ってるのです。これも下の図 C をみれば，一目瞭然でしょう。
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| (A)ロルの定理 | (B)連続でないとき | (C)微分可能でないとき |
ロルの定理の証明：
閉区間 ［a，b］で，f(x)＝定数のときは，この区間で f'(x)＝0 なので，定理が成り立つのは明らか。そこで，f(x)は定関数ではなくある点でf(x)＞f(a)＝f(b)なる点が存在する場合を考えます。このとき，最大値の定理より，閉区間 ［a，b］のある点p＝a＋θ(b−a) でf（x)は最大値をとり，任意のh＞0に対して，
f(p＋h)−f(p）≦0
両辺hで割って，h→0とすれば，これは右からの微分係数について，
f'+(p)≦0
であることを意味します。今度は，
f(p−h)−f(p）≦0
について(-h)で割って，h→0とすれば，左からの微分係数について，
f'-(p)≧0
が示せます。今，f(x)は微分可能なので,左右からの微分係数は一致するはずです。これが成り立つのは，
f'+(p)＝f'-(p)＝0
のときだけです。つまり，f(p)＝0 であることがわかりました。
f(x)＜f(a)＝f(b)なる点が存在する場合も最小値の定理を用いて，f'(q)＝0 となる点q が存在することを同様に示せます。
| ［ 平均値の定理 ］ 閉区間［a，b］で定義された関数f(x)が， (１) 閉区間［a，b］で連続 (２) 開区間(a，b)で微分可能 ならば， となる θ(0＜θ＜1) が存在する。 特に，b＝a＋h と書き直せば， f(a＋h)＝f(a)＋hf '(a＋θh) |
この定理はロルの定理で傾きが0 であるところを ”任意の高さにある A，B の傾き” に拡張したものです。証明もロルの定理と変わりませんので省略します。
［１］ 連続関数のかかわる重要な命題をいくつか挙げておくと，
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(１)単調な連続増加関数には逆関数が存在する→[#]。 ← 中間値の定理を使う (２)ペアノ曲線：連続写像f： [0,1]→[0,1]×[0,1] は存在するが，f： [0,1]→｛[0,1]×[0,1]−p0｝は存在しない→[#] (３)内接する多角形の面積を最大にする条件を求める証明 →[#] (４)ヒルベルト空間(無限次元の場合)では有界な閉集合でも最大値･最小値をもたない。→[#] (５)閉区間 ［a,b］ で定義された連続関数は有界であって最大値と最小値を取る。［最大値の定理］→[#] (６)閉区間 ［a,b］ で定義された連続関数はこの区間上で一様連続である。→
[#] |
などなど。
