2  行列式の定義にどうやってたどり着くのか
f-denshi.com  最終更新日:06/03/17

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ここでの予備知識は高校生で習う3次元までのベクトル2次の行列式くらいまでとして,n元連立1次方程式の一般解の公式を予想して見ましょう。

高校数学の復習からです。未知数,x1,x2 についての連立1次方程式です。その一般式は,

a11x1+a12x2=b1
a21x1+a22x2=b2

となります。これを,x2 を消去するために,

   a22a11x1+a22a12x2= a22b1
−a12a21x1−a12a22x2 =−a12b2

と変形して,辺々たせば,

( a22a11−a12a21 )x1 = a22b1−a12b2

したがって,a22a11−a12a21≠0 であるならば,

 ∴ x1 a22b1−a12b2
a22a11−a12a21

と解の半分が求まります。次に,x1 を消去して,x2 を求めるために与式を

−a21a11x1−a21a12x2=−a21b1
   a11a21x1+a11a22x2= a11b2

として,辺々を足せば,

( a11a22−a21a12 )x2=−a21b1+a11b2 

したがって,a11a22−a21a12≠0 であるならば,

 ∴ x2 −a21b1+a11b2 
a11a22−a12a21

ともう片方の解 x2 も求まります。

ここで,解 x1,x2の分母はよく見ると同じであって,連立一次方程式を行列とベクトルを用いて,

a11 a12 x1 b1
a21 a22 x2 b2

と表したときの連立一次方程式の係数からなる行列の行列式であって,

A a11 a12 とすると, |A| = a11 a12  = a11a22−a12a21
a21 a22 a21 a22

と定義されものです。なお,|A| は det A とも書きます。

連立方程式を解く途中で仮定した,a22a11−a12a21≠0 という条件は,行列 A が逆行列を持つ条件で,この条件が成り立つならば,式に左から逆行列 A-1 をかけて,

x1 A-1 b1
1
|A|
a22 −a12 b1
a22b1−a12b2
|A|
x2 b2 −a21  a11 b2
−a21b1+a11b2
|A|

が連立1次方程式の解となります。以上が高校生の時にも習ったことの復習です。

  さて,大学レベルになると未知数が任意のnである場合の連立一次方程式を習うこととなりますが,今示した解法を眺めていただけではさすがにその一般解を予想することは不可能なので,もうひとつ次元を増やして3元連立方程式を調べてみます。解くべき連立一次方程式を,

a11x1+a12x2+a13x3=b1
a21x1+a22x2+a23x3=b2
a31x1+a32x2+a33x3=b3

とします。計算の見通しをよくするために未知数として, x,y,z ではなくで,x1,x2,x3 と番号を用いてます。まず,x3 を消去するために,

a23a11x1+a23a12x2+a23a13x3 a23b1      (1)’
a33a11x1+a33a12x2+a33a13x3 a33b1   (1)”
−a13a21x1−a13a22x2−a13a23x3 −a13b2  (2)’
−a13a31x1−a13a32x2−a13a33x3 −a13b3 (3)’

と変形して,(1)’+(2)’,および,(1)”+(3)’ から,

(a23a11−a13a21)x1+(a23a12−a13a22)x2=a23b1−a13b2
(a33a11−a13a31)x1+(a33a12−a13a32)x2=a33b1−a13b3

今度は x2 を消去するために,

(a33a12−a13a32)(a23a11−a13a21)x1+(a33a12−a13a32)(a23a12−a13a22)x2 (a33a12−a13a32)(a23b1−a13b2)
−(a23a12−a13a22)(a33a11−a13a31)x1−(a23a12−a13a22)(a33a12−a13a32)x2 −(a23a12−a13a22)(a33b1−a13b3)

辺々足して,

{(a33a12−a13a32)(a23a11−a13a21)−(a23a12−a13a22)(a33a11−a13a31)}x1

        =(a22a33−a32a23)a13b1−(a33a12−a13a32)a13b2+(a23a12−a13a22)a13b3

さらに,両辺 a13 で除して,整理すると

{{a11(a22a33−a23a32)−a12(a21a33−a23a31)+a13(a21a32−a22a31)}}x1

        =(a22a33−a32a23)b1−(a12a33−a32a13)b2+(a23a12−a13a22)b3

ここで,

左辺  = a11 a22 a23 −a12 a21 a23 +a13 a21 a22 x1
a32 a33 a31 a33 a31 a32
右辺  =  a22 a23 b1 a12 a13 b2 a12 a13 b3
a32 a33 a32 a33 a22 a23

と2次の行列式を用いてまとめられます。ところで,この行列式たちをよく見ると,連立1次方程式を行列で表した,

a11 a12 a13 x1 b1
a21 a22 a23 x2 b2
a31 a32 a33 x3 b3

の行列 ( aij) から作られる3行3列の行列式において,下に灰色で示したような行と列を取り除いて作られる2行2列の行列式となっていることがわかります。すなわち,左辺の方は,

a11 a12 a13
a22 a23
a32 a33
≡ ▲11
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12 a13
a21 a23
a31 a33
≡ ▲12
a21 a22 a23
a31
a32 a33
a11 a12 a13
a21 a22
a31 a32
≡ ▲13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

および 右辺の方は,

a11 a12 a13
a22 a23
a32 a33
≡ ▲11
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12 a13
a12 a13
a32 a33
≡ ▲21
a21 a22 a23
a31
a32 a33
a11 a12 a13
a12 a13
a22 a23
≡ ▲31
a21 a22 a23
a31
a32 a33

すると,

左辺=( a1111−a1212+a1313 ) x1
右辺=b 111−b221+b331

となります。このままでもいいのですが,2項目についているマイナスの符号を統一的に記述するために,

Δjk=(-1)j+kjk

とさらに書き直しておきます。 すると,連立方程式の解,x1 は,

 x1 b1Δ11+b2Δ21+b3Δ31  =
bkΔk1
a11Δ11+a12Δ12+a13Δ13
a1kΔ1k

となります。添え字が対称的であることから,x2,x3 については,

 x2 b1Δ12+b2Δ22+b3Δ32  =
bkΔk2
a21Δ21+a22Δ22+a23Δ23
a2kΔ2k
 x3 b1Δ13+b2Δ23+b3Δ33  =
bkΔk3
a31Δ31+a32Δ32+a33Δ33
a3kΔ3k

となります。ここで,導入した Δmn なる行列式は頻繁に現れるので名前がついており,行列の(m,n)-余因子と呼ばれています。
また,分母は未知数ごとに3とおり,すなわち,

a1kΔ1k
a2kΔ2k
a3kΔ3k

と表されていますが,ベタ書きしてみれば,これはすべておなじで,

a11a22a33−a11a23a32+a12a23a31−a12a21a33+a13a21a32−a13a22a31

という6つの項の和です。これは,2元連立1次方程式の解の分母が行列式 |A| となっていることを思い出せば,3次の行列式の定義としてふさわしいものに違いありません。そこで,3次の行列式を,

|A’|=a11a22a33−a11a23a32+a12a23a31−a12a21a33+a13a21a32−a13a22a31  ・・・・・・ [*]

と定義します。ここで,

A’ a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

です。

一方,2元連立1次方程式の一般解の分子を見てみると,2次の行列の場合の余因子は,

a22=Δ11, -a12=Δ21, -a21=Δ12,  a11=Δ22

と書くことができるので,

2元連立1次方程式の解の公式
x1
bkΔk1
|A|
x2
bkΔk2
|A|
3元連立1次方程式の解の公式
 x1
bkΔk1
|A’|
 x2
bkΔk2
|A’|
 x3
bkΔk3
|A’|

このように並べて書いて見れば,n元連立1次方程式の解がどうあるべきか見えてきますね。

ところで,3次の行列式は間に合わせ的に[*]のように定義しましたが,n次行列の行列式について考えるにはもう少し深く掘り下げておく必要があります。

 3次の行列式に現れる6つの項を注意深く見ると,すべて,a1pa2qa3r という形をしていて,p,q,r の組は,

( p,q,r )=(1,2,3),(1,3,2),(2,3,1),(2,1,3),(3,1,2),(3,2,1)

となっています。これは3文字(123)の順列のすべてを尽くしていて,その個数,3!=6 から構成されていることに気づきます。このような見方は2次の行列式についても当てはまって,そこに現れる項は,a1pa2q ,(pq)=(1,2),(2,1) という形をしています。たいぶ,n次の行列式の定義がどうあるべきか見えてきましたね。あと,マイナス符号についてははちょっと頭をひねる必要がありますが,それは (1,2,3) から出発して,3文字のうち2文字だけその順序を交換していくと,

(1,2,3)
2と3交換
(1,3,2)
3と1交換
(3,1,2)
1と2交換
(3,2,1)
2と3交換
(2,3,1)
3と1交換
(2,1,3)
1と2交換
(1,2,3)
(+) (-) (+) (-) (+) (-) (+)

という循環する系列が得られます。そして,順列の一つ一つには下に記したような符号を一意的に対応させられそうです。2次の場合に戻って考えても,

(1,2)
1と2交換
(2,1)
2と1交換
(1,2)
(+) (-) (+)

となって同じ規則で符号が付けられそうです。そして,この規則を用いれば任意のn次の行列式をどのように定義すればよいか見通しが得られました。そこでは,置換という考え方が重要になってくるのです。


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ちょっと小言

数学で直感は大事です。特に幾何学的なイメージに直して図解することはたいへん理解の助けになります。しかし,あまりこれを強調しすぎるのもどうかと思うことも多いのも事実。このページのように行列を成分で書いてこつこつ計算することが欠かせないような状況もあることは強調しておいてもよいのではないでしょうか。一般化による抽象的な表記法も場合によっては重要であり,本質的な役割を果たします。ここでは,連立一次方程式を,

a11x1+a12x2+a13x3=b1
a21x1+a22x2+a23x3=b2
a31x1+a32x2+a33x3=b3

と書いたからこそ本文中で述べた規則性を見出し,高次の行列式にたどり着けたのであって,もし,

ax+bY+cZ=d
ex+fY+gZ=h
px+qY+rZ=s

と書いたなら,行列式の定義はまず,頭の中にひらめかないでしょう?

|A|=afr−agq+bgp−ber+ceq−cfp 

をそのまま観ていてもただの暗号にしか見えない!