Appendix　b3　線形群・運動群
f-denshi.com  更新日：　　しばらく項目だけ挙げておきます。21/09/24
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１．正則行列からからなる群の分類

［１］　逆行列をもつ正則な （ |A| ≠0 である ） n次正方行列全体の集合は通常の行列の掛け算において群をなします。これを

一般線形群   GL（n，K）

といいます。ここで，K は任意の体ですが，ここでは実数 R，または複素数 C と考えます。

この群はさらに次のように分類されます。

−	正則行列	*	A-1 ＝ tA　（ ＝ A*）
一般 detA≠0	GL（n，R） 実一般線形群	⊃	O（n） 直交群　detA＝±1
	GL（n，C） 複素一般線形群		U（n） ユニタリ群 |detA|＝ 1
-	∪	・	∪
特殊 detA＝1	SL（n，R） 実特殊線形群	⊃	SO（n） 特殊直交群（回転群）
	SL（n，C） 複素特殊線形群		SU（n） 特殊ユニタリ群
群どおしの関係 二重線：正規部分群と核（緑）

表の説明をしておくと，各行列の定義は以下のとおりです。（A^*：転置複素共役）

GL（n，K）={ A | detA≠0 }	O（n）　={ A | A-1 = tA ， detA=±1 }
	U（n）　={ A | A-1=A* ，| det A | = 1 ｝
SL（n，K）={ A | detA =1 }	SO（n）={ A | A-1 = tA ， detA = 1　}
	SU（n）={ A | A-1=A*  ， detA = 1　}

各行列の名前について補足しておくと，

一般 ＝ 裏返しを含む　　 　　　　　⇔　　　 特殊 ＝  裏返しを含まない　detA＝1

［２］　２次正則行列の特別な形については　

a b ，ad-bc　≠0 c d	∈	GL（n，RまたはC）
a b ，ad-bc　＝1 c d	∈	SL（n，RまたはC）
a b ，ad-bc　＝±1 c d	∈	O（2）
a b ，| ad-bc | ＝1 c d	∈	U（2）
cosθ -sinθ ，cos2θ-sin2θ=1 sinθ cosθ	∈	SO（2）
α -β* ，　|α|2+|β|2＝1 β α*	∈	SU（2）

　　α＝a＋bi，　β＝c＋di　

　　　　　⇒　|α|²+|β|²＝1 ⇔　a²＋b²＋c²＋d²＝1　

解説

O(2) について，A ^tA＝E (2次単位行列) を満たすことから，

A1＝		cosθ	-sinθ		または，A2＝		ｰcosθ	sinθ
		sinθ	cosθ				sinθ	cosθ

のいずれかで表せることが分かります（θ：実数）が，

A₁＝ SO(2)

A2＝		-1	0			cosθ	-sinθ
		0	1			sinθ	cosθ

という関係にあります。したがって，

O(2)＝		1	0		SO(2) ∪		-1	0		SO(2)
		0	1				0	１

と O(2) は類別できることが分かります。ここで，

準同型写像　Φ：　A∈O(2)　→　detA　∈S₀
核：　　　　SO(2)

代表系：		1	0		，		-1	0
		0	1				0	１

とすれば，

のような準同型定理を確かめることができます。

・　U＝e^iH∈U(2) と表すと，　e^iH＝e^iH*　⇔　H＝iH^* (ｴﾙﾐｰﾄ行列)

［３］   特殊基本行列を，j，k＝1，2，・・・，n；　j≠k　として，

Ｐ ＝		1	0	・・	・・	0	・・	0			，および，Q ＝		1	0	・・	・・	・・	・・	0
		0	・・	0		：		：					0	・・	0				：
		0	・・	１	0	λ	・・	0		←j 行目			：	0	１	0			：
		：		・・	・・	0		：					：		0	μ	0		：
		：				1		：					：			0	1	0	：
		：				：	・・	0					：				0	・・	0
		0	・・	・・	・・	0	0	1					0	・・	・・	・・	・・	0	1
						↑
		k 列目											μ≠0

とすれば，

GL（n，K）の生成元は，P と Q である。

SL（n，K）の生成元は，P である。

［４］　中心Z は，

GL（n，K）	Z（GL（n，K））＝｛ aE｜a∈K*｝， ただし， E ： n次の単位行列，  K* ＝ K−｛ 0 ｝
SL（n，K）	K＝R のとき， Z（SL（n，R）） n＝奇数： ＝　｛ E ｝ n＝偶数： ＝｛ E ，−E ｝ K＝C のとき， Z（SL（n，C））＝｛ cE｜c∈C，かつ，cn＝1｝ 具体的には，         c ＝｛exp（2πmi/n）｝，m＝0，1，・・・，n-1

［５］　交換子群

［GL（n，K），GL（n，K）］＝SL（n，K）
［SL（n，K），SL（n，K）］＝SL（n，K）

GL（n，K）/［GL（n，K），GL（n，K）］＝K^*　　←　可換群

［６］　準同型写像を考える　　　

（１）　GL（n，K）⇒K^*への準同形写像 Φ（A）＝detA の核は，SL（n，K）。
（２）　O（n）⇒S⁰　　 への準同形写像 Φ（A）＝detA の核は，SO（n）。
（３）　U（n）⇒S¹　 　への準同形写像 Φ（A）＝detA の核は，SU（n）。

ただし，

K^*＝K−{0}
R^*＝R−｛0｝
R⁺＝｛x∈R｜x＞0｝
C^*＝C−｛0｝

S⁰＝｛x∈R |　|x|＝1｝＝｛1，-1｝
S¹＝｛c∈C |　|c|＝1｝＝｛e^iθ｝

したがって，

GL（n，K） の正規部分群は SL（n，K）
　O（n） 　 の正規部分群は　SO（n） 　　
　U（n） 　 の正規部分群は　SU（n） 　　

［７］　準同型定理を適用

上の例を一般化すれば，次の定理が容易に導かれます。

・ ２次回転群 SO（2）は群 S¹＝｛c∈C｜|c|＝1｝と準同型

R(θ)∈SO(2)≡S¹≡U(1)
SU(2)≡S³
SO(3)≡RP³

２．アフィン変換群

［１］　アフィン変換群・合同変換群の定義

これらが合成写像を算法として群を作ることは容易に証明できる。

（１），（２）の場合

単位元：　e(x)＝Ex＋0
逆元　：　φ^-1＝A^-1x−A^-1b

［２］　ユークリッド空間内の一点をユークリッド空間の１点に写す次の３つの写像，

（a）　平行移動
（b）　回転
（c）　反転

を有限個合成して得られる写像全体の集合は群をなします。これは行列を用いて，

E（Rⁿ）＝｛φ｜φ（x）＝Ax＋b，　A∈O（n），x，b ∈Rⁿ ｝

と表すことができ，合同変換群と言います。特に，平行移動を表す群は，

（３）　D(Rⁿ)＝{ φ： Rⁿ→Rⁿ｜φ（x）＝x＋b ｝　　

という記号で書くこととします。

［３］　これら群の主な包含関係

A(Rⁿ) ⊃ E(n) ⊃ E⁺(n) ⊃O(n)，Rn

O(2) ⊃ D_n

C^* ⊃ S¹ ⊃ Z_n

［４］　準同型定理

完全系列

			α		β
1	→	SL（n，R）	→	GL（n，R）	→	R*	→	1

			α		β
1	→	SO（n）	→	O（n）	→	S0	→	1

			α		β
1	→	SU（n）	→	U（n）	→	S1	→	1

ここで，

直和分解

GL（n，R）＝R₊×SL（n，R）×R₊

であることに注意すれば，

，射影直線

例

		H(3)
0 En -En 0		SP(n)

S3	⇒	RP3
|||	Uと-Uを同一視	|||
U　∈SU(2)	等長対応	U~　∈SO(3)
X= x z* z x Y= y w* w y 　　∈SO(2)	⇔ ⇔ 対応	x＝(x,z)， y＝(y,w) 　　∈R×C=R3
detX=x2-zz*＝1
U*XU (U*XU)*＝U*XU (-U)*X(-U)＝U*XU	作用	U~x
1 tr(XY) 2	内積 xy+Re(z*w)	<x，y>
<U*XU，U*YU> ＝ 1 tr(XY) 2		<U*~x，U~y> ＝<x，y>

対称群 S_n からZ₂｛1，-1｝への写像：　　f（σ）＝sgnσ

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