Appendix５　 ３次，４次方程式の解の公式
f-denshi.com  最終更新日：　04/11/8
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１．3次方程式の解法

[１]　3次方程式の解法を紹介します。　有理数を係数とする３次方程式：

0 ＝x³＋r₂x²＋r₁x＋r₀　　　　　　　･･･････････････････　　(０)

は，x ＝ (X−r₂/3)と置き換えることで，2次の項のない３次方程式

0 ＝X³＋pX＋q　　　　　　　　　　　･･････････････････　　(１)

に変換できます。したがって，この方程式(１)の解の公式を導けば十分です。

[２]　解法のポイントは次の２つの恒等式にあります。

[A]　X³−y³−z³−3Xyz　＝ X³−3yzX−y³−z³
[B]　X³−y³−z³−3Xyz　＝ (X−y−z)(X−ωy−ω²z)(X−ω²y−ωz)

ここで，ωは１の原始3乗根，すなわち，

ω ＝exp [2πi /3]＝	−1＋i  3
	2

で，ω³ ＝ 1，　ω²＋ω＋1 ＝ 0　を満たします。

[３]　まず，[A]　ですが，これは(１)と比較すれば，

p ＝ −3yz　　　　　　　　　　 ･･･････････････････････　　(２)
q ＝ −y³−z³　　　　　　　　　･･･････････････････････　　(３)

が成り立つときに方程式(１)の右辺に等しいことが見て取れます。

[４]　一方，[Ｂ]は

(X−y−z)(X−ωy−ω²z)(X−ω²y−ωz) ＝ 0

とおいて，X の方程式とみなせば，その根が，

y＋z ωy＋ω2z ω2y＋ωz

･･･････････････････････    (４)

の3つであることを示しています。

[５]　つまり，未知数 y，z の連立方程式(２)，(３)の解がわかれば，それを(４)に代入して，3次方程式(１)の一般解が得られるわけです。この連立方程式解は簡単に次のように求まります。(２)を両辺３乗して 27 で割れば，

p³/27 ＝ −y³z³　　　 　　　　･･････････････････････    (５)

(５)と(３)から，　y³ と z³ とは次の T に関する２次方程式の解であることがわかります。

T²−(y³＋z³)T＋y³z³　＝ T²＋qT−(p³/27) ＝ 0　･･･　(６)

したがって，２次方程式の解の公式から(６)の２つの根を求め，立方根をとれば，

y ＝		−q＋  D		1/3	＝	−(q/2)＋ (q/2)2＋(p/3)3
		2

z ＝		−q−  D		1/3	＝	−(q/2)− (q/2)2＋(p/3)3
		2

ただし，判別式：　D ＝ q²＋4(p³/27)

が得られます。この y，z を(４)に代入した次式が，３次方程式(１)の３つの解です。

	−(q/2)＋ (q/2)2＋(p/3)3	＋	−(q/2)− (q/2)2＋(p/3)3

ω	−(q/2)＋ (q/2)2＋(p/3)3	＋ω2	−(q/2)− (q/2)2＋(p/3)3

ω2	−(q/2)＋ (q/2)2＋(p/3)3	＋ω	−(q/2)− (q/2)2＋(p/3)3

[蛇足]

[Ｂ]の式はよく見かける公式

X³＋y³＋z³−3Xyz ＝ ( X＋y＋z )( X²＋y²＋z²−Xy−yz−zX )
　　　　　　　　　　　　 ＝ ( X＋y＋z )( X＋ωy＋ω²z )( X＋ω²y＋ωz )

にて，y　→　- y，　z　→　- z　と置き換えたものです。

２．　４次方程式の解法

[１]　3次方程式の解法と同様に有理数を係数とする４次方程式：

0 ＝ x⁴＋r₃x³＋r₂x²＋r₁x＋r₀　　　　　････････････　　(0)

も　x ＝ (X−r₃/4)と置き換えることで，3次の項のない4次方程式：

0 ＝ X⁴＋pX²＋qX＋r　　　　　　････････････････　　(１)

に変換できます。したがって，一般の４次方程式の解として，この方程式(１)の解の公式を導けば十分です。

[２]　ポイントは次の２つの恒等式にあります。(↓　3次方程式の場合とよく比べてください)

[C]　X⁴＋y⁴＋z⁴＋w⁴−2(X²y²＋X²z²＋X²w²＋y²z²＋y²w²＋z²w²)−8Xyzw　
　　　　　＝ X⁴−2(y²＋z²＋w²)X²−8yzwX＋[y⁴＋z⁴＋w⁴−2(y²z²＋y²w²＋z²w²)]
　　　　　＝ X⁴−2(y²＋z²＋w²)X²−8yzwX＋[(y²＋z²＋w²)²−4(y²z²＋y²w²＋z²w²)]

(　X の方程式とみなせるようにXだけわざと大文字にしています。)　　　　

[D]　X⁴＋y⁴＋z⁴＋w⁴−2(X²y²＋X²z²＋X²w²＋y²z²＋y²w²＋z²w²)−8Xyzw　
　　　　　＝ (X−y−z−w)(X−y＋z＋w)(X＋y−z＋w)(X＋y＋z−w)

[３]　まず，[C]　を　X の方程式とみて，

p ＝ −2(y²＋z²＋w²)　　　　　･･･････････････････　  (２)
q ＝ −8yzw　　　　　　　　　　 　･････････････････ 　 (３)
r ＝ (y²＋z²＋w²)²−4(y²z²＋y²w²＋z²w²)　････････　(４)

とおけば，４次方程式(１)の右辺に等しくなります。

[４]　次に[D]　は

0 ＝ (X−y−z−w)(X−y＋z＋w)(X＋y−z＋w)(X＋y＋z−w)

を X の方程式とみなせば，その4つの解　x₁，x₂，x₃，x₄　は，

x1＝＋y＋z＋w x2＝＋y−z−w x3＝−y＋z−w x4＝−y−z＋w

･･･････････････(５)

で与えられることを示しています。つまり，未知数 y，z，w の連立方程式(２)，(３)，(４)を解いて，その解を(５)に代入して得られる 4つの値が 4次方程式の解なのです。

[５]　さて，連立方程式(２)，(３)，(４)を

y²＋z²＋w²           ＝ −p/2
y²z²w²                 ＝ (q/8)²
y²z²＋y²w²＋z²w² ＝ [(y²＋z²＋w²)²−r ]/4 ＝ p²/16−r／4

と変形すれば，y²，z²，w²　は次の３次方程式の３つの解になっていることがわかります。

(T−y²)(T−z²)(T−w²) ＝ T³−(y²＋z²＋w²)T²＋(y²z²＋y²w²＋z²w²)T− y²z²w²
　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ T³＋(p/2)T²＋(p²/16−r／4)T−(q/8)²　
                                  ＝ 0

先ほど示したように３次方程式の解は公式によって必ず求まりますから，それらを　t₁，t₂，t₃　としましょう。すると，

y ＝ ±

t1

， z ＝ ±

t2

， w ＝ ±

t3

と表せるはずです。 y，z，w　としてどのように複合 ＋，− を選択するかは，q ＝ −8yzw　を満たすように決定できます。一組の y，z，w が定まれば，(５)より4次方程式の解が求まります。

[蛇足]

[D]　X⁴＋y⁴＋z⁴＋w⁴−2(X²y²＋X²z²＋X²w²＋y²z²＋y²w²＋z²w²)＋8Xyzw　　←M78さんに間違いを教えていただきました。
　　　　　＝(X＋y＋z＋w)(X＋y−z−w)(X−y＋z−w)(X−y−z＋w)

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４次方程式のガロア対応

４次方程式
X⁴＋pX²＋qX＋r＝0
(X−x₁)(X−x₂)(X−x₃)(X−x₄)＝0
(X−y−z−w)(X−y＋z＋w)(X＋y−z＋w)(X＋y＋z−w)＝0

		２		３		２		２		位数＝拡大次数
Gi/Gi+1	ガロア群	S4/A4		A4/H		H/N		N/{e}		Gal(Fi+1/Fi)
Gi＝	S4	⊃	A4	⊃	H	⊃	N	⊃	E	部分群　（固定群）
										ガロア対応
Fi＝	Q	⊂	Q((y2-z2)(z2-w2)(w2-y2))	⊂	Q(y2,z2,w2)	⊂	Q(y2,z2,w)	⊂	Q(y,z,w）	中間体　（固定体）
Fi+1/Fi	Q((y2-z2)(z2-w2)(w2-y2))/Q　　 　　　Q(y2,z2,w2)/Q((y2-z2)(z2-w2)(w2-y2))　　　　　  　Q(y2,z2,w)/Q(y2,z2,w2)　　　　　　　　　　Q(y,z,w）/Q(y2,z2,w)　 最小分解体									ガロア拡大
		Q(y2,z2,w2)/Q 　[６次拡大］
		3次方程式			2次方程式			2次方程式
		T3＋(p/2)T2＋(p2/16−r/4)T−(q/8)2　 (T−y2)(T−z2)(T−w2) ＝0			R2−w2＝0 (R＋w)(R−w)＝0			R2−z2＝0		方程式
p＝−2(y2＋z2＋w2) q＝−8yzw r＝y4＋z4＋w4 −2(y2z2＋z2w2＋w2y2)		x1＝＋y＋z＋w x2＝＋y−z−w x3＝−y＋z−w x4＝−y−z＋w						Q(y,z,w）=Q(x1,x2,x3,x4)		補足

・同型写像の定義

恒等写像も含めて，この写像は4次方程式の解を並び換えている。

・各中間体を動かさない固定群（＝S₄の正規部分群）を見つけるための表

青い背景の体の元（の組）は，左端に示した群の元の働きで動かない。

p＝−2(y²＋z²＋w²)
q＝−8yzw
r＝y⁴＋z⁴＋w⁴−2(y²z²＋z²w²＋w²y²)

S₄　：＜h₁，h₂，h₃，α，σ＞＝A₄∪σA₄　　（４文字対称群）
A₄　：＜h₁，h₂，h₃，α＞＝｛e，h_x，h_y，h_z，a₁，b₁，a₂，b₂，a₃，b₃，a₄，b₄｝　　（４文字交代群）[#]
H　　：＜h₁，h₂，h₃＞　　＝　｛e，h₁，h₂，h₃｝
N　　：＜h₁＞　　　　　　　＝　｛e，h₁｝
E　　：　｛e｝

注意：　正四面体群において用いた元の記号とは，h₁⇔h_y，h₂⇔h_x，h₃＝h_z，α⇔a₁　と対応させ，σは任意の互換，たとえば，（12）と考えればよい。

メモ書き：　一般の３次方程式のリゾルベントを用いた解法におけるガロア群とガロア拡大体との関係　（概略）

有理数体Q上の一般３次方程式を加減乗除とべき根で解くことを考える。（べき根で表現可能な1の3乗根ωは予めQに添加してQ’としておく。）

x3＋0･x2＋p･x＋q＝0，　　　　p，qは有理数

解と係数の関係は対称式で次のように書ける。

0＝−(α＋β＋γ) p＝αβ＋βγ＋γα q＝−αβγ

ここでは，体を累次拡大することで解が得られるもっとも複雑な場合を想定して話を進める。まず，対称式，t(α,β,γ) [#]は，根α，β，γの置き換え，３文字の置換（３次対称群）によって変化しない。したがって，

α，β，γの置換を行っても係数 0，p，q　（係数体）は不変である。当たり前。

一般３次方程式のガロア群は３次対称群　S₃＝｛ε，σ⁺，σ^-，η，ζ，τ｝を具体的に書き下すと次のとおりである。

３次対称群 　(α⇔1，β⇔2，γ⇔3 と読み替える) 元 置換 巡回置換 ε 1 2 3 1 2 3 1 σ- 1 2 3 3 1 2 (132) σ+ 1 2 3 2 3 1 (123) η 1 2 3 2 1 3 (12) ζ 1 2 3 3 2 1 (13) τ 1 2 3 1 3 2 (23)

正規部分群 A3：｛ε,σ-,σ+｝ 部分群　 B1：｛ε,η｝， B2：｛ε,ζ｝， B3：｛ε,τ｝ 最小の部分群 E3：｛ε｝

天下り的であるが，3つの解とωから作られるラグランジュのリゾルベント（分解式）と呼ばれる次式 V，

を定義する。６つの置換を　V＝V₁　にそれぞれ作用させると，以下のとおり置換ごとに異なる６つの式，V₁，V₂，V₃，V₄，V₅，V₆ が得られる。

置換	変換前 の値	⇒F(V)	変換後
			値	多項式 (F(α,β,γ))	記号
ε	V	⇒ε(V)	＝V1	＝γ＋αω＋βω2	＝V
σ-	V	⇒σ-(V)	＝V2	＝β＋γω＋αω2	＝Vω
σ+	V	⇒σ+(V)	＝V3	＝α＋βω＋γω2	＝Vω2
η	V	⇒η(V)	＝V4	＝γ＋βω＋αω2	＝W
ζ	V	⇒ζ(V)	＝V5	＝α＋γω＋βω2	＝Wω
τ	V	⇒τ(V)	＝V6	＝β＋αω＋γω2	＝Wω2

さらに，V₂，･･･，V₆　ついて置換を作用させた結果は以下のとおりとなる。

x＝	V1	V2	V3	V4	V5	V6
ε(x)=	V1	V2	V3	V4	V5	V6
σ-(x)=	V2	V3	V1	V5	V6	V4
σ+(x)=	V3	V1	V2	V6	V4	V5
η(x)=	V4	V5	V6	V1	V2	V3
ζ(x)=	V5	V6	V4	V3	V1	V2
τ(x)=	V6	V4	V5	V2	V3	V1

すなわち，S₃の元は，L₃＝｛V₁，V₂，V₃，V₄，V₅，V₆ ｝に対する自己同型写像となっている。

V_j の性質　　（証明略）

（１）　L＝Q(α,β,γ)＝Q(V₁)＝Q(V₂)＝Q(V₃)＝Q(V₄)＝Q(V₅)＝Q(V₆)　　［単項拡大］
（２）　S₃を作用させて得られる６つのV_jからなる対称式t(V₁,V₂,V₃,V₄,V₅,V₆)はS₃によって不変（V_j 上の自己同型写像）
　　　　　　⇒Q’に属する。（）
（３）　V³＝V・Vω・Vω²＝V₁V₂V₃，および，W³＝V₄V₅V₆
（４）　α，β，γはV_j の整式で表される。

具体的には，

α＝ 1 (Vω2＋Wω) 3 β＝ 1 (Wω2＋Vω) 3 γ＝ 1 (V＋W) 3

つまり，

Vがp,，qの加減乗除とそれらの冪根で表されれば，方程式の解の値もべき根で表される。

当初の3次方程式の解をべき根で表すという問題は，ωを導入したことで，「Vをべき根で表す」という問題に置き換えられたのだ。

そこで，V_j ＝V，Vω，Vω²，W，Wω，Wω²　を根とするQ(ω)上の6次方程式，

(x−V)(x−Vω)(x−Vω²)(x−W)(x−Wω)(x−Wω²)＝0

を考える。これを展開すると，

＝(x³−V³)(x³−W³)
＝x⁶−(V³＋W³)x³＋V³W³　＝0

ここで，X≡x³　とおくと，Xに関する2次方程式とみなせる。また，その2次方程式の係数である，

V³＋W³，および，V³W³　は，α，β，γの置換を行っても不変 （V₁,V₂,V₃,V₄,V₅,V₆に置換を行っても不変） であるから，Q’の数である。⇒[#]

具体的には，V＝γ＋αω＋βω²，W＝γ＋βω＋αω²を代入して，

V3＋W3 　＝　27αβγ　　　　　　　　　　　＝−27q V3W3　　　＝−27(αβ＋βγ＋γα)3　＝−27p3

すなわち，V³＋W³，および，V³W³　はQ’に属する。よって，XのQ’上（Q上でも同じ）の２次方程式を解いて，

X＝V³または，W³　　　　←この解を係数体Q’に添加した拡大体が中間体になっている。

を解として求めることができる。

その補助方程式を具体的に書くと，

X2＋27qX−27p3　＝0

これを解くと，

V3，W3　＝　 − 27q ± 2 27q 2 ＋27p3 2

ここで，

B＝−	27q
	2

D≡		27q		2	＋27p3　　　［２次方程式の判別式］
		2

とおき，および，複号はV³に対して＋，W³に対して，−を与えることにする。（ガロア拡大においてはどちらかひとつ添加すればよい。）

さらに，それぞれの立方根をとれば，VとWが係数p，qを用いた形で求まる。

V＝ B＋ D   ，　　W＝ B− D

したがって，３次方程式の解はこれらを，

α＝ 1 (Vω2＋Wω) 3 β＝ 1 (Wω2＋Vω) 3 γ＝ 1 (V＋W) 3

に代入すれば，本文中と同じ結果を得る。例えば，

γ＝	1		− 27q ＋ 2 27q 2 ＋27p3 2	＋		− 27q − 2 27q 2 ＋27p3 2
	3

＝	−(q/2)＋ (q/2)2＋(p/3)3	＋	−(q/2)− (q/2)2＋(p/3)3

ガロア群の性質トリゾルベントについて追加説明：

固定部分群と中間体との対応を見るために自己同型写像として，S₃の元がリゾルベントに働く様子を示す。

自己同型 写像		中間体	Q(ω)		Q(ω， V3)		Q(ω， V3，V)
		x=	V3＋W3	V3W3	V3	W3	V	W
S3	A3	ε(x)=	V3＋W3	V3W3	V3	W3	V	W
		σ-(x)=	V3＋W3	V3W3	V3	W3	V2	V5
		σ+(x)=	V3＋W3	V3W3	V3	W3	V3	V6
		η(x)=	V3＋W3	V3W3	W3	V3	V4	V1
		ζ(x)=	V3＋W3	V3W3	W3	V3	V5	V3
		τ(x)=	V3＋W3	V3W3	W3	V3	V6	V2

青い背景の部分は自己同型写像によって体の元が動かないことを示す。

Q(ω)を不変とするのは，S₃である。
Q(ω，V³)を不変とするのはS₃の部分群A₃である。
Q(ω， V³，V)を不変とするのは単位元εだけからなる部分群Eである。

正規部分群A³の性質

正規部分群C₃による置換によって，V₁,V₂,V₃の対称式，ｔ(V₁,V₂,V₃)と，V₄,V₅,V₆の対称式，ｔ(V₄,V₅,V₆) は不変となっている。

（S₃〜D₃は同型。σ⁺とηとで生成される。）

［］　特に対称式，

V³＝V₁V₂V₃　および，W³＝V₄V₅V₆　はA³によって不変

V³＝V₁³＝V₂³＝V₃³　
W³＝V₄³＝V₅³＝V₆³

一方，ηA₃の置換によって，ｔ(V₁,V₂,V₃)とｔ(V₄,V₅,V₆) とは交換される。

一方，S₃はV₁,V₂,V₃,V₄,V₅,V₆　の対称式を不変とする。

具体例はこれらを根に持つ多項式から作れる。

(x−V)(x−Vω)(x−Vω²)(x−W)(x−Wω)(x−Wω²)　

の係数から出てくる対称式，

V³＋W³，および，V³W³　

はQ’上で不変であり，ｐ，ｑで表せることはすでに示したとおり。

一つの図にまとめると次のとおり。

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