Appendix５　 ３次，4次方程式の解の公式
f-denshi.com  最終更新日：　04/11/8

１．3次方程式の解法

［１］　3次方程式のデルフェルロ，タルタリア，カルダノの解法を紹介します。　有理数を係数とする３次方程式：

0 ＝x³＋r₂x²＋r₁x＋r₀　　　　　　　･･････････････････････　　（０）

は，x ＝ (X−r₂/3）と置き換えることで，2次の項のない３次方程式

0 ＝X³＋pX＋q　　　　　　　　　　　　　･････････････････････　　（１）

に変換できます。したがって，この方程式（１）の解の公式を導けば十分です。

［２］　解法のポイントは次の２つの恒等式にあります。

[A]　X³−y³−z³−3Xyz　＝ X³−3yzX−y³−z³
[B]　X³−y³−z³−3Xyz　＝ （X−y−z）（X−ωy−ω²z）（X−ω²y−ωz）

ここで，ωは１の原始3乗根，すなわち，

ω ＝exp ［2πi /3］＝	−1＋i  3
	2

で，ω³ ＝ 1，　ω²＋ω＋1 ＝ 0　を満たします。

［３］　まず，[A]　ですが，これは（１）と比較すれば，

p ＝ −3yz　　　　　　　　　　 　･･････････････････････････　　（２）
ｑ ＝ −y³−z³　　　　　　　　　･･････････････････････････　　（３）

が成り立つときに方程式（１）の右辺に等しいことが見て取れます。

［４］　一方，［Ｂ］は

（X−y−z）（X−ωy−ω²z）（X−ω²y−ωz） ＝ 0

とおいて，X の方程式とみなせば，その根が，

y＋z ωy＋ω2z ω2y＋ωz

･････････････････････････    （４）

の3つであることを示しています。

［５］　つまり，未知数 y，z の連立方程式（２），（３）の解がわかれば，それを（４）に代入して，3次方程式（１）の一般解が得られるわけです。この連立方程式解は簡単に次のように求まります。（２）を両辺３乗して 27 で割れば，

p³/27 ＝ −y³z³　　　･･･・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・　　（５）

（５）と（３）から，　y³ と z³ とは次の T に関する２次方程式の解であることがわかります。

T²−（y³＋z³）T＋y³z³　＝ T²＋qT−（p³/27） ＝ 0　　･･･　　（６）

したがって，２次方程式の解の公式から（６）の２つの根を求め，立方根をとれば，

y ＝		−q＋  D		1/3
		2

z ＝		−q−  D		1/3
		2

ただし，判別式：　D ＝ q²＋4（p³/27）

が得られます。この y，z を（４）に代入したものが，３次方程式（１）の３つの解です。

［蛇足］

［Ｂ］の式はよく見かける公式

X³＋y³＋z³−3Xyz ＝ （ X＋y＋z ）（ X²＋y²＋z²−Xy−yz−zX ）
　　　　　　　　　　　　 ＝ （ X＋y＋z ）（ X＋ωy＋ω²z ）（ X＋ω²y＋ωz ）

にて，y　→　- y，　z　→　- z　と置き換えたものです。

２．　４次方程式の解法

［１］　3次方程式の解法と同様に有理数を係数とする４次方程式：

0 ＝ x⁴＋r₃x³＋r₂x²＋r₁x＋r₀　　　　　　　･･････････････････････　　（0）

も　x ＝ (X−r₃/4）と置き換えることで，3次の項のない4次方程式：

0 ＝ X⁴＋pX²＋qX＋r　　　　　　　　　　　　　･･････････････････････　　（１）

に変換できます。したがって，一般の４次方程式の解として，この方程式（１）の解の公式を導けば十分です。

［２］　ポイントは次の２つの恒等式にあります。（↓　3次方程式の場合とよく比べてください）

[C]　X⁴＋y⁴＋z⁴＋w⁴−2（X²y²＋X²z²＋X²w²＋y²z²＋y²w²＋z²w²）−8Xyzw　
　　　　　＝ X⁴−2（y²＋z²＋w²）X²−8yzwX＋［y⁴＋z⁴＋w⁴−2（y²z²＋y²w²＋z²w²）］
　　　　　＝ X⁴−2（y²＋z²＋w²）X²−8yzwX＋［（y²＋z²＋w²）²−4（y²z²＋y²w²＋z²w²）］

(　X の方程式とみなせるようにXだけわざと大文字にしています。）　　　　

[D]　X⁴＋y⁴＋z⁴＋w⁴−2（X²y²＋X²z²＋X²w²＋y²z²＋y²w²＋z²w²）−8Xyzw　
　　　　　＝ （X−y−z−w）（X−y＋z＋w）（X＋y−z＋w）（X＋y＋z−w）

［３］　まず，[C]　を　X の方程式とみて，

p ＝ −2（y²＋z²＋w²）　　　　　　　　　　　･･････････････････････････　　（２）
q ＝ −8yzw　　　　　　　　　　　　　　　　　　･･････････････････････････　　（３）
r ＝ （y²＋z²＋w²）²−4（y²z²＋y²w²＋z²w²）　　　　　　　　･････････　　（４）

とおけば，４次方程式（１）の右辺に等しくなります。

［４］　次に[D]　は

0 ＝ （X−y−z−w）（X−y＋z＋w）（X＋y−z＋w）（X＋y＋z−w）

を X の方程式とみなせば，その解は

y＋z＋w ＋y−z−w −y＋z−w −y−z＋w

･････････････････（５）

で与えられることを示しています。つまり，未知数 y，z，w の連立方程式（２），（３），（４）を解いて，その解を（５）に代入して得られる 4つの値が 4次方程式の解なのです。

［５］　さて，連立方程式（２），（３），（４）を

y²＋z²＋w²           ＝ −p/2
y²z²w²                 ＝ （q/8）²
y²z²＋y²w²＋z²w² ＝ ［（y²＋z²＋w²）²−r ］/4 ＝ p²/16−r／4

と変形すれば，y²，z²，w²　は次の３次方程式の３つの解になっていることがわかります。

（T−y²）（T−z²）（T−w²） ＝ T³−（y²＋z²＋w²）T²＋（y²z²＋y²w²＋z²w²）T− y²z²w²
　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ T³＋（p/2）T²＋（p²/16−r／4）T−（q/8）²　
                                  ＝ 0

先ほど示したように３次方程式の解は公式によって必ず求まりますから，それらを　t₁，t₂，t₃　としましょう。すると，

y ＝ ±

t1

， z ＝ ±

t2

， w ＝ ±

t3

と表せるはずです。 y，z，w　としてどのように複合 ＋，− を選択するかは４次方程式に解の一つ （y＋z＋w） を直接代入して解となっているか確かめてみることで決定できます。ひとつ解が定まれば，（５）より残りの３つも求まります。

［蛇足］

[D]　X⁴＋y⁴＋z⁴＋w⁴−2（X²y²＋X²z²＋X²w²＋y²z²＋y²w²＋z²w²）−8Xyzw　
　　　　　＝（X＋y＋z＋w）（X＋y−z−w）（X−y＋z−w）（X−y−z＋w）

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