Appendix 2　２階テンソルの座標変換
f-denshi.com  最終更新日：03/08/02
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　ベクトル空間の基底として正規直交系しか用いない応用に対しては共変成分，反変成分を区別することは意味がありません[#]。そこで，そのような区別がない場合のテンソル変換について応用上，重要な３次元２階テンソルの例にとりまとめておきましょう。

１．２階テンソルの座標変換　

［１］　まず，復習から。体 R上のベクトル空間 V の直積集合 V×V ： ｛（x,ｙ ）｜x，ｙ  ∈V　｝ 上で定義された関数 T（ｘ,ｙ），

T：  （ｘ,ｙ ）　→　r  ∈ R　

を考えて，それが，z ∈V，λ∈R に対して，

（１）　T（x＋z,ｙ ）＝ T（x,ｙ ）＋T（z,ｙ ）
　　　 T（x,ｙ＋z ）＝T（x,ｙ ）＋T（x,z ）

（２）　T（λx,ｙ ） ＝ λT（x,ｙ ）　
　　　 T（x,λｙ ） ＝ λT（x,ｙ ）

を満たすとき，これらの性質を双線形性といい，この関数 T を双線形関数，または２階テンソルといいました[#]。

［２］　さて，２階テンソルがベクトル空間 V の座標変換にしたがってどうのように変換するのか考えます。座標変換前後の基底とその関係が，

Σ ＝｛e1,e2,e3 ｝　⇔　Σ'＝｛e'1,e'2,e'3 ｝ e'j ＝  pkjek

で与えられるとします。すると，ベクトルx ，y はそれぞれの座標系で，

xs ＝

psjx'j

yt ＝

ptkx'k

と変換されることは，ベクトルの座標変換[#]で説明したとおりです。この基底のもとで，双線形関数 T（x，ｙ ）を考えます。

［３］　２つの座標系で，テンソルの成分T_jkを，

T（ｅ₁,ｅ₁ ） ＝ T₁₁，T（ｅ₁,ｅ₂ ） ＝ T₁₂， ・・・，T（ｅ₃,ｅ₃ ）＝ T₃₃
T（ｅ'₁,ｅ'₁）＝T'₁₁，T（ｅ'₁,ｅ'₂）＝T'₁₂，・・・，T（ｅ'₃,ｅ'₃）＝T'₃₃

とそれぞれ定義[#]しましょう。これを用いると， 双線形関数 T（x,ｙ ） は ２つの座標系で，

T（x,ｙ ）＝T（ ｘ₁e₁＋ｘ₂e₂＋ｘ₃e₃，　ｙ₁e₁＋ｙ₂e₂＋ｙ₃e₃ ）
　　　　　　＝ｘ₁ ｙ₁T（ｅ₁,ｅ₁ ） ＋ｘ₁ ｙ₂T（ｅ₁,ｅ₂ ）＋ ・・・＋ｘ₃ ｙ₃T（ｅ₃,ｅ₃ ）
　　　　　　＝ｘ₁ ｙ₁T₁₁　＋ｘ₁ ｙ₂T₁₂＋ｘ₁ ｙ₃T₁₃＋･･･＋ｘ₃ ｙ₃T₃₃　　　　　　

＝

ｘs ｙtTst　　　　　・・・・・[*]　　　　　　　　　　　　　　　(座標系Σ）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
T（x,ｙ ）＝x'₁y'₁ T（ｅ'₁,ｅ'₁）＋x'₁y'₂T（ｅ'₁,ｅ'₂）＋･･･＋x'₃y'₃T（ｅ'₃,ｅ'₃）　

＝

x'jy'kT'jk　　　　　・・・・・[**]　　　　　　　　　　　　  　（座標系Σ'）

とそれぞれ表されることになります。　ここでの問題は，T'_jk と T_st との関係を求めることです。

［４］　そのために［２］のベクトル成分の変数変換，x_s＝Σp_sjx'_j，　y_t＝Σp_tkx'_k　を上の座標系Σ における式に代入すると，

T（x,ｙ ）＝ΣΣｘ_s ｙ_tT_st
　　　　　　＝ΣΣ（Σp_sjx'_jΣp_tkx'_k）T_st
　　　　　　　＝ΣΣx'_jx'_k（ΣΣp_sjp_tkT_st）

これを座標系Σ'での式 ΣΣx'_jy'_k T'_jk と比較すれば，

テンソル変換 　　　　 　T'jk 　＝ 　psjptkTst　　　　　　　⇔　比較　　x'j＝pkjxk

［５］　正規直交系の間の座標変換　だけを考えるならば，Appendix 1 で得たように

　x'_j ＝ Σ p_sjx_s 　，（ y'_k ＝ Σ p_tky_t ）

である[#] ので，これらを先の座標系Σ'の式[**]に代入して［４］と同様な計算，比較を行なえば，次の関係式がえられます。

ベクトル空間と双対空間が同時に設定されているテンソル空間に対してよくある疑問について書いておきます。

Q　物理で見かけるテンソルと表記や意味が，ときわ台学の線形代数の内容と何か違う気がするのですが？

ここではベクトル（テンソル）空間について話していますが，物理で見かけると言われるテンソルは，正確にはベクトル（テンソル）場のことを言っているのだと思います。ベクトル場と，「場」がつくとと難しそうですが，空間の各点にベクトル（空間）が配置された空間がベクトル場です。

具体的な例をあげると，ある時刻の世界中の地表の風向きを記録した気象データはベクトル場です。世界の各地点で東西南北を示すための2次元ベクトル空間が配置されていると考えることができますよね。もし，各地点の雨量を記録したものならば，それはスカラー場になります。

きちんと説明するには多様体やリーマン幾何学などの知識が必要となりますが，ここでは，ベクトル空間とベクトル場のベクトル（テンソル）座標変換についての表記の比較表を紹介しておきます。

ベクトル空間
	ベクトル空間　V		双対空間　V*
	基底　　ej		基底　　ej
基 底 変 換	e'j=pijei 共変的とする基準	ej=qije'i	e'j=qjiei	ej=pjie'i
座 標 変 換	x'j=qjixi	xj=pjix'i	x'j=pijxi	xj=qijx'i
ベクトル場
	接空間		余接空間
	基底　　　 ∂ ∂xi		基底　　　dxj
	数学（多様体）における表記例
基 底 変 換	∂ = ∂xi ∂ ∂yj ∂yj ∂xi	∂ = ∂yi ∂ ∂xj ∂xj ∂yi	dyj= ∂yj dxi ∂xi	dxj= ∂xj dyi ∂yi
座 標 変 換	ηj= ∂yj χi ∂xi	χj= ∂xj ηi ∂yi	gj= ∂xi fi ∂yj	fj= ∂yi gi ∂xj
	物理における表記例
基 底 変 換	∂ = ∂xi ∂ ∂x'j ∂x'j ∂xi e'j= ∂xi ei ∂x'j	∂ = ∂x'i ∂ ∂xj ∂xj ∂x'i ej= ∂x'i e'i ∂xj	dx'j= ∂x'j dxi ∂xi e'j= ∂x'j　 ei ∂xi	dxj= ∂xj dx'i ∂x'i ej= ∂xj　 e'i ∂x'i
座 標 変 換	x'j= ∂x'j　 xi ∂xi	xj= ∂xj　 x'i ∂x'i	x'j= ∂xi　 xi ∂x'j	xj= ∂x'i x'i ∂xj
緑=反変的， 赤=共変的　 元の座標系Σの座標 (xi)， 新しい座標系Σ’の座標=(x'i) qij　は　pij　の逆行列，　　|ej|≠1でも構わない

ベクトル空間とベクトル場での記号の対応