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Appendix クラマース・クローニッヒ変換 |
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| f-denshi.com 更新日： |
［１］ 応答関数 G（τ）を用いて誘電関数を導いたときと同様に[#]、電気変位 D（t） を
| D（t） ＝ ε0E（t） ＋ |
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ε0E（t−τ）G（τ）dτ |
とおきます。 電場が、E（t） ＝ E0・e−i ωt で与えられる場合、これを上式に代入して整理すれば、
| D（t）＝ε0E0e−i ωt |
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1 ＋ |
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G（τ）ei ωτ dτ |
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これを、D（t） ＝ε0εrE（t） ＝ ε0εrE0e−i ωt と比較すれば、
| εr（ω）＝ |
1 ＋ |
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G（τ）ei ωτ dτ ････････ [*] |
の関係があることがわかります。[*]は正則関数なので[#]，次のような積分を実行できます。
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 ［２］ εr（ω） が正則関数ならば，右のような閉じた積分経路Cとその内部において、次の被積分関数も正則関数です。したがって，コーシーの積分定理[#]を適用すると，
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εr（ω）−1 |
dω ＝ 0 ･･･････ [**] |
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| ω−ω0 |
が成り立ちます。
[**]のような関数を考えることは単なる数学的なテクニックであって，物理的な意味はありません。
ここで積分経路の半円について、
（１）大きい半円の半径 L が ∞
（２）小さい半円の半径 r が 0
という極限を考えます。まず，（１）上の高い周波数において考察する場合，その極限では誘電体を構成する質量を持つ荷電粒子（＝たいていは電子）は電場に追随できなくなるため，εr（ω） ⇒ 1 （ω→∞） と条件を課してもよいでしょう。すると、[**]の大きな半円上での積分値は 0 となります。
結局， [**]の実軸上と小円上の積分[#]だけを考えればよく，
| P |
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εr（ω）−1 |
dω −πｉ（εr（ω0）− 1） ＝ 0 |
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| ω−ω0 |
ただし，
| P |
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εr（ω）−1 |
≡ |
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εr（ω）−1 |
dω＋ |
 |
εr（ω）−1 |
dω |
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| ω−ω0 |
ω−ω0 |
ω−ω0 |
という関係式が得られます。また，便宜的に，ω0→ω 、ω→Ω と変数を改めて次のように書き直しておきましょう。
| εr（ω）− 1 ＝ |
1 |
･P |
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εr（Ω）−1 |
dΩ ・・・・・・[***] |
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| iπ |
Ω−ω |
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これが，複素誘電率の実数部と虚数部を関係づけている式です。 |
さらに、実数部と虚数部に分けて表示するために、
| εr（ω）＝ε1（ω）＋i ε2（ω） ； ω＝ω1＋i ω2 |
と置きます。
| ε1 （ω1， ω2）＝ |
1 ＋ |
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G（τ）cosω1τ・e-ω2τ dτ ［実数部］ |
| ε2 （ω1， ω2）＝ |
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G（τ）sinω1τ・e-ω2τ dτ ［虚数部］ |
となります。
成分で書くために，εr（ω）＝ε1（ω）＋i ε2（ω）を，[***]に代入して，この積分が実軸上で行われることに注意すれば，
| ε1（ω）− 1 ＝ |
1 |
･P |
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ε2（Ω） |
dΩ 実数部から |
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| π |
Ω−ω |
| ε2（ω） ＝− |
1 |
･P |
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ε1（Ω）−1 |
dΩ 虚数部から |
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|
| π |
Ω−ω |
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が得られます。クラマース・クローニッヒ変換と呼ばれます。また，
ε1（−ω）＝ ε1（ω）
ε2（−ω）＝−ε2（ω）
を利用して，積分範囲を正の区間にまとめると，
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ε2（Ω） |
dΩ ＝ |
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ε2（Ω） |
dΩ＋ |
|
ε2（Ω） |
dΩ |
|
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| Ω−ω |
Ω−ω |
Ω−ω |
| ＝ |
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ε2（−Ω） |
dΩ＋ |
|
ε2（Ω） |
dΩ |
|
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| −Ω−ω |
Ω−ω |
| ＝ |
|
ε2（Ω） |
dΩ＋ |
|
ε2（Ω） |
dΩ |
|
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| Ω＋ω |
Ω−ω |
| ＝2 |
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Ωε2（Ω） |
dΩ |
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| Ω2−ω2 |
および，
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ε1（Ω）−1 |
dΩ＝ |
|
ε1（Ω）−1 |
dΩ＋ |
|
ε1（Ω）−1 |
dΩ |
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| Ω−ω |
Ω−ω |
Ω−ω |
|
＝ |
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ε1（−Ω）−1 |
dΩ＋ |
|
ε1（Ω）−1 |
dΩ |
|
|
| −Ω−ω |
Ω−ω |
|
＝ |
|
ε1（Ω）−1 |
dΩ＋ |
|
ε1（Ω）−1 |
dΩ |
|
|
| −Ω−ω |
Ω−ω |
|
＝2 |
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ω（ε1（Ω）−1） |
dΩ |
|
| Ω2−ω2 |
まとめると，
| ε1（ω）− 1 ＝ |
2 |
･P |
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Ωε2（Ω） |
dΩ |
|
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| π |
Ω2−ω2 |
| ε2（ω） ＝ − |
2 |
･P |
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ω（ε1（Ω）−1） |
dΩ |
|
|
| π |
Ω2−ω2 |
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［目次へ］
εr（ω）の正則性の証明：
複素関数εr（ω）は正則関数：
| ε1 （ω1， ω2）＝ |
1 ＋ |
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G（τ）cosω1τ・e-ω2τ dτ ［実数部］ |
| ε2 （ω1， ω2）＝ |
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G（τ）sinω1τ・e-ω2τ dτ ［虚数部］ |
これらから
| ∂ε1 |
＝ |
∂ε2 |
、及び、 |
∂ε1 |
＝ − |
|
∂ε2 |
|
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| ∂ω1 |
∂ω2 |
∂ω2 |
∂ω1 |
となり、複素関数εr（ω）は、複素解析学におけるコーシー・リ−マンの関係 [#] を満たしています。
小さな半円上の積分：
小円C上の積分は，εr（ω）の正則性から，r → 0 （ω≒ω0）のとき，εr（ω）→εr（ω0） として，これを積分の外へ出すと，
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εr（ω）−1 |
dω＝（εr（ω0）−1） |
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dω |
|
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| ω−ω0 |
ω−ω0 |
また，ω−ω0 ≡ reiθ， dω＝ireiθdθ とおき，変数変換すると，
| ＝ |
（εr（ω0）−1） |
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i reiθdθ |
＝ −iπ（εr（ω0）−1） |
|
| reiθ |
のように積分できます。
追加分
n2 ＝εr なる関係からわかるように複素屈折率、n ＝n ＋i κ も正則な関数であり、上と同様な計算の結果、
| n（ω）− 1 ＝ |
2 |
･P |
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sκ（s） |
ds |
|
|
| π |
s2−ω2 |
| κ（ω） ＝ − |
2 |
･P |
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ωn（s） |
ds |
|
|
| π |
s2−ω2 |
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が得られます。一方、垂直入射振幅反射率 r（θ）[#]、
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（1＋ωs）ln r（s） |
ds |
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| （1＋s2）（ω−s） |
の積分から、（ 計算は[#] ）
| θ（ω） ＝ − |
ω |
･P |
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lnR（s）−lnR（ω） |
ds |
|
|
| π |
s2−ω2 |
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この式は、垂直入射パワー反射率 R（ω） から振幅反射率の位相θを求めるために使います。