305  逆格子空間
f-denshi.com  更新日：05/02/17
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１．逆格子ベクトル

［１］　３次元ベクトル空間は，任意の１次独立な３つのベクトル（＝基底という）を用いて取り扱うことができます。結晶構造を取り扱うときにもっとも自然で重要な基底は，これまでの説明に用いた３つの基本並進ベクトル，｛a，b，c ｝ を採用することです。

もう一つの重要な基底ベクトルは，これから述べる逆格子ベクトルです。

ベクトル空間の３つの基底として，次のような性質をもつベクトルA，B，C を逆格子ベクトルといいます。すなわち，

A はb，c  に垂直　：　A ･b ＝ A ･c ＝ 0 B はc，a  に垂直　： B ･c ＝ B ･a ＝ 0 C はa，b  に垂直　：　C ･a ＝ C ･b ＝ 0

･････[*]

であって，A，B，C  の大きさが，

A ･a  ＝ 2π B ･b  ＝ 2π C ･c  ＝ 2π

･････[**]

となるように定めたベクトルです。これは数学的には基底：｛a，b，c ｝の相反基底：｛A，B，C ｝とよばれます[#]。
また，３次元ベクトル空間の基底として， ｛a，b，c ｝を選んだときを実空間，(A，B，C )を選んだときを逆格子空間と呼びます。)

具体的な逆格子ベクトルは基本並進ベクトルの外積を用いて，

A ＝2π b×c ，B ＝2π c×a ，C ＝2π a×b ［abc］ ［abc］ ［abc］

を計算することで得られます。ここで，［abc］＝a ･(b×c ) はスカラー三重積　[#]　です。

証明
(１)　ベクトル解析の相反基底の公式 3 (2)[#]においては，ベクトルと相反基底との関係が，A ･a ＝ 1 ですが，それをここでの定義，A ･a  ＝ 2π　に変える必要があります。
(２)　( h k l )　面(右下図の緑色の三角形を含む面)内の任意の異なる２点を示すベクトルは，代数･幾何学の公式から

r1 ＝p1

a

＋q1

b

＋r1

c

，  r2 ＝p2

a

＋q2

b

＋r2

c

h

k

l

h

k

l

ただし， p₁＋q₁＋r₁ ＝ 1， および， p₂＋q₂＋r₂ ＝ 1　

と表すことができます。　この面内の２点を結ぶベクトル，( つまり，( h k l )面内にあるベクトル )r ＝ r₁ −r₂  と，G ＝ hA ＋ kB ＋ lCとの内積は，[*] と[**] を用いて，

と計算できます。よって，G は r に垂直です。

(３)   原点からもっとも近い(隣の)( h k l )平面上の点，

P ＝	1		a	＋	b	＋	c
	3		h		k		ｌ

を示すベクトルを考え，その ( h k l )平面に垂直な単位ベクトル G / | G | への射影を求めればよい。すなわち，

d( h k l ) ＝ P ･	G	＝	1		a ･A ＋b ･B ＋c ･C
	| G |		3 | G |

＝	1		(2π＋2π＋2π)		＝	2π
	3 | G |					| G |

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面の多重度