##　　スピン１／２の系の基本事項
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　行列力学の流儀に慣れるため，スピンをという概念がユニタリ空間のベクトル，演算子としてどのように表現されるかを具体的な計算を通して前章の理解を深めます。

スピンの物理的な意味は後述　⇒　[#]

１．スピン1/2の系

［１］　静磁場中におかれた電子の磁化の測定から，電子はスピンと呼ばれる磁気モーメントに比例する角運動量をもつことが知られています。スピンのある方向成分，例えば，z成分を測定すると，絶対値が等しく符号が反対の２とおりの値だけをとります。この2つを上向きスピン，下向きスピンと呼んで区別します。（なお，同時にx成分，y成分を測定によって定めることはできません。）
　量子力学の原理的要請 [#] に基づいた形式で記述するならば，z方向に関する線形演算子 S_z，２つのスピン状態に対応する固有ケット ｜S_z，＋＞，｜S_z，−＞ が存在して，これらは次のような固有方程式：

Sz｜Sz，＋＞ ＝  （h/2）｜Sz，＋＞ Sz｜Sz，−＞ ＝ −（h/2）｜Sz，−＞

・・・・・　（１）

を満しなければなりません。ここで，固有値： s₊＝（h/2），s_-＝−（h/2） はスピン角運動量と呼びます。

この２つの固有関数 を，

｜S_z，＋＞    ⇒　 ｜＋＞，
｜S_z，−＞    ⇒   ｜−＞
　　　　　　　　　　　　　↑　一般論で， ｛｜a₁＞，｜a₂＞，･･･，｜a_n＞ ｝　と書いたものに対応

と簡単に書いてスピンなる ”物理量” を記述するユニタリ空間の正規直交基底に用いることができます。つまり，スピン固有ケットは，

＜＋｜＋＞ ＝ ＜−｜−＞ ＝ 1　　   　［大きさが1］
＜＋｜−＞ ＝ ＜−｜＋＞ ＝ 0　   　　［直交性］

なる関係を満足しています。　このとき，この空間内の任意のスピン状態（任意の方向を向いたスピン）を表すケットは係数 c₊， c_- を用いて，

｜γ＞ ＝ c₊｜＋＞ ＋ c_-｜−＞

と線形結合で表すことができます。（同じ表記で，スピンのコヒーレント状態を表すこともあります[#]。）　また，｜γ＞ の規格化条件から， c₊， c_- は，

＜γ｜γ＞ ＝ c^*₊c₊＋c^*_-c_- ＝ 1

を満たす必要があります。

（スピン空間は複素数を要素とする2次元空間なので，実質的には4次元空間を考えていることに注意。）

［２］　基底｛ ｜＋＞，｜−＞ ｝のもとでの固有ケット｜S_z，＋＞，｜S_z，−＞ の行列表現 [#] は，

｜Sz，＋＞ ＝		＜＋｜Sz，＋＞		＝		１
		＜−｜Sz，＋＞				0

｜Sz，−＞ ＝		＜＋｜Sz，−＞		＝		0
		＜−｜Sz，−＞				1

となります。⇒[#]

　また，演算子 S_z の行列表現は，（１）を用いて，

＜＋｜S_z｜＋＞＝＜＋｜（h/2）｜＋＞＝（h/2）＜＋｜＋＞＝（h/2）
                ・・・・・・・

のように計算すれば，

Sz ＝		＜＋｜Sz｜＋＞＜＋｜Sz｜−＞		＝		（h/2）	0
		＜−｜Sz｜＋＞＜−｜Sz｜−＞				0	−（h/2）

となります。

  射影演算子，恒等演算子はそれぞれ，

Λ+＝｜＋＞＜＋｜＝		1		（ 1 0 ） ＝			1　0
		0					0　0

Λ-＝｜−＞＜−｜＝		0		（ 0 1 ） ＝		0　0
		1				0　1

I　＝｜＋＞＜＋｜ ＋ ｜−＞＜−｜ ＝		1　0
		0　1

これを用いて

Sz　＝

skΛk

＝（h/2）｜＋＞＜＋｜＋（−h/2）｜−＞＜−｜

なる関係 [#] も容易に確かめられます。

［３］　  z方向に垂直な x，y の２つの方向のスピン演算子 S_x，S_y も　それぞれ z方向の場合と同様な記述ができるはずです。そのときの基底としては S_x，S_y の固有ケットを基底にそれぞれ用いれば，単に記号を，z→x， z→y と置き換えて，

Sx｜Sx，＋＞＝　（h/2）｜Sx，＋＞ Sx｜Sx，−＞＝−（h/2）｜Sx，−＞

：

Sy｜Sy，＋＞＝　（h/2）｜Sy，＋＞ Sy｜Sy，−＞＝−（h/2）｜Sy，−＞

とすればすみます。 しかし，2次元ベクトル空間を記述するのに基底は２つで十分なので，これらは先の S_z の固有ケットを用いて，

｜S_x，＋＞　＝　c₊｜＋＞＋c_-｜−＞　；　　 c^*₊c₊＋c^*_-c_- ＝ 1

と表すことが可能なはずです。　ここでは結果だけかくと，[#]，

｜Sx，＋＞≡	1	（｜＋＞＋｜−＞） ；	｜Sx，−＞≡	1	（｜＋＞−｜−＞）
	2			2

｜Sy，＋＞≡	1	（｜＋＞＋i｜−＞） ；	｜Sy，−＞≡	1	（｜＋＞−i｜−＞）
	2			2

とすればよいことがわかっています。これらのケットの行列表現は，

｜Sy，−＞＝		＜＋｜Sy，−＞
		＜−｜Sy，−＞

＝	1		＜＋｜｛｜＋＞−i｜−＞｝		＝	1		1
	2		＜−｜｛｜＋＞−i｜−＞｝			2		-i

＜Sy，−｜＝	1	（ 1　i  ） 　←　虚数の符号反転に注意
	2

などと計算すればよく，まとめると次のようになります。

ケット	基底　｛ ｜＋＞　，｜−＞ ｝での表示
｜Sx，＋＞＝	1 （｜＋＞＋｜−＞） 2	1 1 2 1
｜Sx，−＞＝	1 （｜＋＞−｜−＞） 2	1 1 2 1
｜Sy，＋＞＝	1 （｜＋＞＋i｜−＞） 2	1 1 2 i
｜Sy，−＞＝	1 （｜＋＞−i｜−＞） 2	1 1 2 -i
｜Sz，＋＞ ＝	｜＋＞	１ 0
｜Sz，−＞ ＝	｜−＞	0 1

［４］　一方，演算子については，例えば， S_y は，

（その１）
　　　S_y　＝Σs_yΛ_y
　　　　　　＝（h/2）｜S_y，＋＞＜S_y，＋｜　＋　（−h/2）｜S_y，−＞＜S_y，−｜
　　　　　　＝（h/2）（1/2）（｜＋＞＋i｜−＞）（＜＋｜−i＜−｜）＋（−h/2）（1/2）（｜＋＞−i｜−＞）（＜＋｜＋i＜−｜）
　　　　　　＝（ih/2）［ −｜＋＞＜−｜＋｜−＞＜＋｜ ］

 これを用いて次式を計算すれば，

Sy　＝		＜＋｜Sy｜＋＞　＜＋｜Sy｜−＞		＝		0　　　−i（h/2）
		＜−｜Sy｜＋＞　＜−｜Sy｜−＞				i（h/2）　　　0

（その２）　　｜S_y，＋＞と＜S_y，＋｜のベクトル成分を求めておいてから，
　　　S_y　＝（h/2）｜S_y，＋＞＜S_y，＋｜　＋　（−h/2）｜S_y，−＞＜S_y，−｜

Sy　＝（h/2）（1/2）		1		（1　−i ）−（h/2）（1/2）		1		（ 1　i  ）
		i				-i

⇒   （h/2）（1/2）		1　−i		−（h/2）（1/2）		1　 i
		i　　1				−i 　1

＝		0　　　−i（h/2）
		i（h/2）　　　0

と計算することができます。

スピン	ケット	行列
Sz　≡	h 2 （｜＋＞＜＋｜−｜−＞＜−｜）	h 2 1　 0 ≡ h 2 σx 0　-1
Sx　≡	h 2 （｜＋＞＜−｜＋｜−＞＜＋｜）	h 2 0　 1 ≡ h 2 σy 1 　0
Sy　≡	i h 2 （−｜＋＞＜−｜＋｜−＞＜＋｜）	h 2 0　-i ≡ h 2 σz i　　0

ここで，S_k を h/2 除した σ_k ；（ k ＝ x，y，z ） はパウリ行列と呼ばれます。

パウリ行列のもつ重要な性質を列挙しておくと，

（１）      trσ_k   ＝    0　　　　        ［トレース］
（２）   ｜σ_k｜  ＝   -1                [擬回転]
（３） ［ σ_i，σ_j ］ ＝ 2ε_ijkσ_k       ［交換関係］
（４） ｛ σ_i，σ_j ｝ ＝ 2δij I           ［反交換関係］

［５］　昇降演算子と呼ばれるたいへん重要な演算子の定義です。

S+　≡ h｜＋＞＜−｜ S-　≡ h｜−＞＜＋｜

これは，

S₊｜＋＞≡ h｜＋＞＜−｜＋＞ ＝ 0             ；  S₊｜−＞≡ h｜＋＞＜−｜−＞ ＝ h｜＋＞
S_-｜＋＞≡ h｜−＞＜＋｜＋＞ ＝ h｜−＞   ；  S₊｜−＞≡ h｜−＞＜＋｜−＞ ＝ 0

のように働くので，S₊，S_- はそれぞれスピンを h だけ増やす，減らすため演算子であることがわかります。

ここで，

S+ ＝ Sx＋i Sy　  ：  　S- ＝ Sx−i Sy

なる関係にあることも行列表現を用いて計算すればわかります。

［６］　一方，スピンの大きさの2乗は，

S2 ＝ Sx2 ＋ Sy2 ＋ Sz2 ＝ 3 h 2 2		1　 0
		0 　1

のように計算されます。

スピン 演算子	ケット	行列
S2　≡	Sx2 ＋ Sy2 ＋ Sz2	3h2 4 1　0 0　1
S+　≡	h｜＋＞＜−｜	h 0　1 0　0
S-　≡	h｜−＞＜＋｜	h 0　0 1　0

S₊^† ＝ S_-　，および，　S_-^† ＝　S₊　

［７］　これらの表現行列を使って計算すると次の交換関係も容易に確かめられます。

交換関係 ［ Sz　Sx ］ ＝ SzSx−SxSz ＝ ihSy ［ Sx　Sy ］ ＝ SxSy−SySx ＝ ihSz 　 ［ Sy　Sz ］ ＝ SySz−SzSy ＝ ihSx  ⇒　［ Si　Sj ］ ＝ SiSj−SjSi ＝ ihεijkSk  ［ S2，Sj ］ ＝　0　　⇔　S2，Sj  には同時固有ケットが存在する （ j ＝ x，y，z ）。

すると，

S² ＝ S_x² ＋ S_y² ＋ S_z² 
    ＝ （S_x＋i S_y）（S_x−i S_y）＋i （S_xS_y−S_yS_x）＋ S_z² 
    ＝ S₊S_- ＋ i （ihS_z）＋S_z² 
    ＝S₊S_- − hS_z ＋ S_z²

同様に，

S² ＝ （S_x−i S_y）（S_x＋i S_y）−i （S_xS_y−S_yS_x）＋ S_z² 
    ＝S_-S₊ ＋ hS_z ＋ S_z²

これらから，

S+S- ＝ S2 − hSz − Sz2 S-S+ ＝ S2 ＋ hSz − Sz2 S2 − Sz2 ＝｛S+S- ＋S-S+｝/2

最後に

[反交換関係]　　

反交換関係 　　｛ Si　Sj ｝ ＝ SiSj＋SjSi ＝ （h2/2）δij                       （i， j ＝ x，y，z ）

　（注意）

回転対称性の考察による，｜S_x，±＞，｜S_y，±＞ の決め方

（１）　回転に対する対称性から，

｜＜±｜S_x，＋＞｜²＝｜＜±｜S_x，−＞｜²　＝　1/2                  ・・・・・・・（１）

｜＜±｜S_y，＋＞｜²＝｜＜±｜S_y，−＞｜²　＝　1/2                  ・・・・・・・（２）

｜＜S_y，±｜S_x，＋＞｜²＝｜＜S_y，±｜S_x，−＞｜²　＝　1/2       ・・・・・・・（３）　

を利用する。

［補足］

任意の２行２列の行列Aは，単位行列 I とパウリ行列の線形結合で表すことができます。すなわち，

A ＝ a₀ Ｉ ＋ a₁σ_x  ＋ a_yσ_y  ＋ a_zσ_z

これは，

A ＝		a +i b  c +i d		＝ a0		1　 0		＝ a1		1　 0		＝ ay		0　 1		＝ az		0　-i
		e +i f  g +i h				0　 1				0　-1				1 　0				i　　0

において，