106　シュレーディンガー方程式の形式解
f-denshi.com  更新日：　05/04/05　　　　　　
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１．時間推進演算子

[１]　まず，時間依存のシュレーディンガー方程式，

ih ∂ |ψ,t＞＝H|ψ,t＞                    [ シュレーディンガー方程式　]                
∂t

の両辺を見比べて見ると，ハミルトニアン演算子 H は，

H≡ih d
dt

に等価であると考えられます。このことを念頭に時刻 0 から微小時間 t 経過したときの時刻　0＋t  のケット|ψ,t＞　をマクローリン展開 [#] してやると，

　|ψ,t＞＝|ψ,0＞＋ t d 　|ψ,0＞＋ t2 d2 　|ψ,0＞＋････＋ tn dn 　|ψ,0＞＋･･
1！ dt 2！ dt2 n！ dtn
　　　　　　　　　　↓　　ここで，演算子：　 H ＝ih d ，つまり，　 d  ＝− i H 　　と置き換えると，
dt dt h
　　　　　　＝ |ψ,0＞＋ (-i H/h) 　|ψ,0＞＋ (-i Ht/h)2 　|ψ,0＞＋････＋ (-i Ht/h)n 　|ψ,0＞＋･･
1！ 2！ n！
　　　　　　＝ 1 ＋ (-i Ht/h)  ＋ (-i Ht/h)2  ＋････＋ (-iHt/h)n 　＋･･ 　|ψ,0＞
1！ 2！ n！
　　　　　　≡ exp -i Ht 　|ψ,0＞
h

のように書き換えられます。　最後の　’≡”　は無限級数を形式的に指数表示で書いているだけです。

ただし，   dn 　|ψ,0＞は， dn 　|ψ,t＞　の ｔ＝0 における値を意味することとします。
 dtn dtn

[２]　すなわち，時間依存性の状態ケットは，

|ψ,t＞≡exp -i Ht |ψ,0＞
h
　
　　　　＝U(t)|ψ,0＞

の関係が得られます。この U(t) は時間推進演算子と呼ばれるものです。

U(t)≡exp -i Ht
h



２．シュレーディンガー方程式の形式的な解

[１]　シュレーディンガー方程式の解を次の３つの場合に分けて解くことを考えます。

(I) H が時間によらない U(t)＝exp[−iHt/h]
(II) 各時間の H が t と交換する
U(t)＝exp[−i dt1Ht1/h]
(III) 各時間の H が t と交換しない U(t)　⇒ S マトリックスによる[#]

(I)　時間と独立な H の場合の形式解は，

|ψ,t＞≡exp[−iHt/h]|ψ＞

となります。

[A，H]＝0，⇒　A が H と同時固有ケットを持つ，すなわち，

H|Ak＞＝Ek|Ak＞

と書けるならば，

exp[−iHt/h] ＝ΣΣ|Ak＞＜Ak|exp[−iHt/h]|Aj＞＜Aj|

　　　  　　 　＝ΣΣ|Ak＞exp[−i＜Ak|H|Aj＞t/h]＜Aj|  

              　　＝ΣΣ|Ak＞exp[−i＜Ak|Ek|Aj＞t/h]＜Aj|

　　　　　   　＝Σ|Ak＞exp[−iEkt/h]＜Ak|

よって，

|ψ,t＞＝exp[−iHt/h]|ψ,0＞

　　   ＝ Σ|Ak＞exp[−iEkt/h]＜Ak|ψ,0＞

       　＝ Σ|Ak＞ck(t)

ここで，

ck(t)＝exp[−i Ekt/h]＜Ak|ψ,0＞         ←　ck(0)＝＜Ak|ψ,0＞ です 
     　＝ck(0)･exp[−i Ekt/h]

は|ψ,t＞ を 完全直交基底｛|Ak＞｝ で展開したときの展開係数なっていることに注意してください。つまり，物理状態の時間発展の様子は，すべてこの係数の時間発展として記述されているのです。

(II)，(III)　⇒　摂動論のところで




　　つづく，・・・・

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