ヤング図形を用いた 　　　　角運動量の合成
f-denshi.com  更新日：07/07/05

［１］　ヤング図形による角運動量合成の形式論の紹介です。この方法の正当性は次の定理に基づきます。

証明は、ここでは後回しにして、具体的な使い方だけを紹介します。

ヤングの図形 １．箱の並べ方 下にゆくほど正方形の数が同じか減小するように並べる。 横一列に並んだ図形の状態 ： 対称 （完全対称） 縦一列に並んだ図形の状態 ： 反対称 （完全反対称） これら以外の並びの状態 ：　　 混合対称 と呼ぶことにする。 ２．符号の振り方 横方向 ：  符合が同じか減少するように記入する。 縦方向 ：  符号がかならず減少するように記入する。 （ 上の文章中の減少を、増加と読み替えてもOKだが、ここでは「減少」を採用する。 ） 物理的な意味への対応付け方の例： 符　号    ＝  量子状態の数（スピンならば２種類 (＋＜−)、p軌道ならば３種類 (＋＜0＜−) などなど。 図の数   ＝  電子などの同一粒子の数。

３．具体例

［A］　２符号−２箱のヤング図形　（２つのスピンの合成）

対　称		＋ ＋ ＋ − − −	３　⇒　３重項に対応
反対称		＋ -	１　⇒　１重項に対応

［B］　３符合−２箱　　（p-軌道にある２つの電子の軌道角運動量の合成）

対称		1 1 1 0 1 -1 0 0 0 -1 -1 -1	６つ
反対称		1 0 、 1 -1 、 0 -1	３つ

以上のヤング図形を準備すると以下の考察ができる。

［ケース１］　　（np）¹（n'p）¹

上のヤング図形［B］より軌道角運動量は ６（対称）＋３（反対象）＝９ とおり のそれぞれに対して、スピン１＋３＝４ とおり の組み合わせがある。つまり、全波動関数Ψ＝φ_mχ としては、

９×４＝３６ とおり

がある。さらに詳しく見ると、対称軌道角運動量波動関数の数は、

６ ＝ ５＋1　（ L ＝ 2,1,0,-1,-2 の５つ　⇒　D状態　と，L＝0 の１つ　⇒　S状態 ）

を含んでいる組み合わせしかありえず、反対称軌道角運動量波動関数は、

3　　（L ＝ 1,0,-1　の３つ　⇒　P状態　）

に対応している。結局、これらにスピン３重項状態、１重項状態がそれぞれ対応するので、分光学分野での記号を用いれば，

³D、¹D、³P、¹P、³S、¹S

の６種類の合成角運動量状態が存在する。

［ケース２］　　（np）²

今度は、同じ軌道関数に電子が入っているので、スピン関数も含めた全波動関数が反対称になるように軌道角関数とスピン関数が組み合わされなければならない。それは

６（対称軌道D＆S）×１（反対称スピン）　＝　６通り
３（反対称軌道P）×３（対称スピン）　＝　９通り
　　　　　　　　　　　　　　　　合計　＝１５通り

と計算できます。　６つの対称軌道関数に関して、先ほどと同じDとS状態とを含むことを考慮して、

¹D、¹S、³P

の３つの状態を含む，ということになります。

さらに３電子が同一のp軌道に収納されている場合を扱うために、次のヤング図形を利用します。

［Ｃ］　２符合−３箱　　（ ３つのスピンの合成 ）

対称		＋ ＋ ＋ ＋ ＋ − ＋ − − − − −	４　⇒　４重項
混合		＋ ＋ − ＋ − −	２　⇒　２重項
反対称		なし	なし

［Ｄ］　３符合−３箱　　（ ３つの軌道角運動量の合成 ）

対称		−
混合 対称	1 1 0 1 0 0 1 -1 0 1 1 -1 1 0 -1 1 -1 -1 0 0 -1 0 -1 -1	８
反対称	＋ 0 −	１

［ケース３］　（np）³

反対称な軌道関数（S状態）に対しては、対称な４つのスピン関数が対応する。これは、

⁴S　　（４つ）

一方，８つの混合対称な軌道関数には２つの混合対称なスピン関数が対応して、８×２＝16 とおりある。さらに詳しく、調べるためには混合状態数を分割する必要があるが、全角運動量が
最大が，2（軌道）＋1/2（スピン）＝5/2（６重縮退：5/2，3/2,･･･，-5/2）、
最小が1/2（２重縮退：1/2，-1/2）である
ことを考慮する（最大３、最小１を含むような分割）と次のような分割しか許されない、

３＋２＋２＋１　

の１通りがある。これらは、

2D5/2 （３×２）	1 1 0 0 -1 -1
2D3/2（２×２）	1 1 -1 1 -1 -1
2P3/2（２×２）	1 0 0 0 0 -1
2P1/2（１×２）

と対応させられる。ただし、

〜

1 -1 0

±

1 0 -1

ヤング図形を下のように分解して見る必要がある。

＝

＝

＝

＝
３ × ３ × ３     ＝		10 （７＋３）	＋	８ （５＋３）	＋	８ （５＋３）	＋	１
		＊		2D3/2、				4S3/2

３つのp-軌道：  ３×３×３　＝ ２７ 個 の状態ができる場合
２J ＋１　＝　状態数

（np）³

１．対称式とヤングの図式

［１］　ヤングの図式と呼ばれる図形を用いた計算を対称式の計算へ応用する利用方法を紹介します。対称式については代数のところで正確な定義を述べていますが、次のような下添字の交換に対して、全体として不変な多項式：

などを対称式と呼びます。詳しくは→[#]。言い換えると、左の記号1における x の下添字（j≠k）を順次、１からnまでいろいろ換えて得られる単項式のすべての和によってn文字からなる対称式が得られます。

［２］　この記号１を次のように書き換え、それをヤングの図形といいます。

［３］　これも例を示す方がわかりやすいでしょう。

記号１	対称式の具体例		ヤング図形
xj2（n＝2）	x12＋x22	⇒	（2）
xj2（n＝3）	x12＋x22＋x32	⇒	（2）
xjxk（n＝2）	x1x2 ＋ x2x1	⇒	（12）＝(11)
xj3xk（n＝3）	x13x2＋x13x3＋x23x1＋x23x3＋x33x1＋x33x2	⇒	（31）

特に

s1＝　ｘ1＋ｘ2・・・＋ｘn　 ＝（1） s2＝x1x2＋･･･＋xn-1xn＝（12） 　　　　･････････････ sn＝  　ｘ1ｘ2・・・ｘn　　　 ＝（1n）

と表せる対称式を基本対称式といいます。別の定義は→[#]。これら数字の並びをヤング図形と呼ぶのは実際の図形と一対一の対応を考えるからで、下のようになります。

　（31）　　　

　(3211)≡（321²）　　　←つまり、　＝（3列タイル^1行だけ 2列タイル^1行だけ1列タイル^2行）ということです。

指数 変数の数 ４

⇔

x13x22x31x41＝x13x22x3x4　というタイプの対称式

［４］　このような図形の間にヤングの図式と呼ばれる規則に従った計算＝”積”　を定義されています。「習うより慣れろ」ということで、具体例を見ていきましょう。まず、図式の作り方（積の計算方法）です。

（�T）n＝4 のときの例です。

　白タイルに黄タイルを右上にひっつけて、下に滑らせながら新たな項（ヤング図形）をつくっていくのですが、ルールとして、（１）右上からスタートして、（２）左の列に移動するときは一番下に留まるということにします。そうすると上のようにC、D、Eができます。図形の係数の意味はその図で、”黄タイルを含む行と”列数が等しい行”の個数です。つまり、［*］の付いた行数、これをNとします。そしてその中にふくまれる黄タイルの個数をM（←今の場合どの場合も１です）とすると、係数は
　　　　_NC_M

と定義されています。これを２つの図形の間の”演算”として、

A×B＝C＋2D＋3E　　⇔　（21²）×（1）＝（31²）＋2（2²1）＋3（21³）

のように書くわけです。もっと例を見たい方　→　[#]

［５］　一方、各記号に対応する対称式については、普通の代数演算が可能なワケですが、左辺については、

　　（21²）＝x₁²（x₂x₃＋x₂x₄＋x₃x₄）＋x₂²（x₁x₂＋x₁x₃＋x₃x₄）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋x₃²（x₁x₂＋x₁x₄＋x₂x₄）＋x₄²（x₁x₂＋x₁x₃＋x₂x₃）
　　（1）　 ＝x₁＋x₂＋x₃＋x₄

であり、この２つの多項式の積を計算（展開）しましょう。愚直に掛け合わせて行くと、

　（21²）×（1）＝ x₁³（x₂x₃＋x₂x₄＋x₃x₄）＋x₁²（x₂x₃＋x₂x₄＋x₃x₄）（x₂＋x₃＋x₄）
　　　　　　　　　＋x₂³（x₁x₃＋x₁x₄＋x₃x₄）＋x₂²（x₁x₃＋x₁x₄＋x₃x₄）（x₁＋x₃＋x₄）
　　　　　　　　　＋x₃³（x₁x₂＋x₁x₄＋x₂x₄）＋x₃²（x₁x₂＋x₁x₄＋x₂x₄）（x₁＋x₂＋x₄）
　　　　　　　　　＋x₄³（x₁x₂＋x₁x₃＋x₂x₃）＋x₄²（x₁x₂＋x₁x₃＋x₂x₃）（x₁＋x₂＋x₃）　　　　　　　　　　

　　　　　　　　＝（31²）　
　　　　　　　　　　＋x₁²｛3x₂x₃x₄＋x₂x₃（x₂＋x₃）＋x₂x₄（x₂＋x₄）＋x₃x₄（x₃＋x₄）｝
　　　　　　　　　　＋x₂²｛3x₁x₃x₄＋x₁x₃（x₁＋x₃）＋x₁x₄（x₁＋x₄）＋x₃x₄（x₃＋x₄）｝
　　　　　　　　　　＋x₃²｛3x₁x₂x₄＋x₁x₂（x₁＋x₂）＋x₁x₄（x₁＋x₄）＋x₂x₄（x₂＋x₄）｝
　　　　　　　　　　＋x₄²｛3x₁x₂x₃＋x₁x₂（x₁＋x₂）＋x₁x₃（x₁＋x₃）＋x₂x₃（x₂＋x₃）｝

　　　　　　　　＝（31²）＋3（21³）
　　　　　　　　　　＋x₁²［x₂²x₃＋x₂x₃²＋x₂²x₄＋x₂x₄²＋x₃²x₄＋x₃x₄²］
　　　　　　　　　　＋x₂²［x₁²x₃＋x₁x₃²＋x₁²x₄＋x₁x₄²＋x₃³x₄＋x₃x₄²］
　　　　　　　　　　＋x₃²［x₁²x₂＋x₁x₂²＋x₁²x₄＋x₁x₄²＋x₂²x₄＋x₂x₄²］
　　　　　　　　　　＋x₄²［x₁²x₂＋x₁x₂²＋x₁²x₃＋x₁x₃²＋x₂²x₃＋x₂x₃²］

　　　　　　　　＝（31²）＋3（21³）＋2（2²1）

ということで、先程の図形を使った”演算”と１対１の対応が付くわけです。

［積表現：（21²）×（1）］＝［展開した対称式の和の表現：（31²）＋3（21³）＋（2²1）］

丹念にこの計算過程（結果）とヤング図を比較すれば、その対応関係（係数がそうなる意味）を見出すことは難しくありません。

（�U）　もう一つ例をあげておきます。n＝5 で今度は黄タイルが２つある場合です。このとき黄タイルの横並びは禁止です。他の規則は先程と同じとすると出現する並びは下のようになります。

このヤング式の計算に対応する対称式の展開について説明します。

先ず一番右端の₄C₂についてです。重複して数えるのを防ぎぐために変数の添え字は左から右へ増加するような物を拾うこととします。

(21²)×(1²)＝　･･･＋E（21⁴）　　　

　　　⇔

(x₁²x₂x₃＋x₁²x₂x₄＋･･･＋x₁²x₄x₅＋･･･＋x₅²x₃x₄　)(x₁x₂＋･･･＋x₂x₃＋x₂x₄＋･･･＋x₄x₅　)

を展開して現れる，x₁²x₂x₃x₄x₅　と同じものを抜き出すと，

の6項だと分かります。この一覧から，次数が1である変数 x₂，x₃，x₄，x₅ の個数４個の中から２個選び出す組み合わせ数 ₄C₂＝6 が係数を与えていることが分かります。

もう一つ，見ておきましょう

(x₁²x₂x₃＋x₁²x₂x₄＋x₁²x₃x₄＋･･･＋x₅²x₃x₄　)(x₁x₂＋x₁x₃＋x₁x₄＋･･･＋x₄x₅　)

を展開して現れる，x₁³x₂x₃x₄　と同じものを抜き出すと，

の３項だと分かります。この一覧から，次数が3である変数 x_１は必ず選ばなければいけないので，₁C₁＝1 の１とおりです。また，１次の変数x₂，x₃，x₄個数３個の中から1個選び出す組み合わせ数 ₃C₁＝3　個が同じ項を与え，結局， ₁C₁・₃C₁がこのタイプの対称式の係数を与えることが分かります。

２．テンソル積の直積表現を直和表現に分解への利用

ヤング図形の計算

黄タイルの留まる場所だけ「*」をつけておきました。

黄タイルが２個あるときも「黄タイルの横並びが禁止」なだけで他のルールは同じです。黄タイルは独立に動きます。これも例を見て下さい。

係数の値は、

C＝₂C₂
D＝₁C₁･₂C₁
E＝₁C₁･₅C₁
F＝₄C₂
G＝₃C₁･₄C₁
H＝₆C₁

を計算します。