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16？ ラグランジュ形式 |
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このページの題材は「解析力学入門」に含めることとしました。いつかそちらで，お会いしましょう！ 10/08/02
［１］ 力学と同様に電磁気学の体系もラグランジュ形式で書き換えることができます。ここでは古典論から量子論へ移る際にすぐに必要となる時間変化しない電磁場中におかれた荷電粒子のハミルトニアンだけ紹介しておきましょう。
（ハミルトニアン H とは導くものではなく，見つけ出すものです。←念のため。）
ハミルトニアン H はラグラジアン L がわかれば，そのルジャンドル変換から計算することができます[#]。
H（q，p ） ＝ q’p − L（q，q’） ･･････････ [*]
一方，ラグラジアン L（q，q’） は下のラグランジュの方程式[#](オイラーの方程式ともいう)
∂L − d ∂L ＝ 0 ［ ラグランジュ方程式 ］ ･･････ [**] ∂q dt ∂q’
を満たし，（ ただし，q ＝ x，y，z ； q’ ＝ x’，y’，z’ ） また，これは電磁場中に置かれた電荷Qを持つ荷電粒子に対する ”ニュートンの運動方程式”
F ＝ Q（ E ＋ v × B ） ＝ mr” ： E＝ （ Ex，Ey，Ez ）； B ＝ （ Bx，By，Bz ）； v ＝ （ x’，y’，z’ ）
成分だと，
m d2x ＝ Q｛ Ex ＋ （ y’Bz − z’By ） dt2
m d2y ＝ Q（ Ey ＋ （ z’Bx − x’Bz ） dt2
m d2z ＝ Q（ Ez ＋ （ x’By − y’Bx ） dt2
または，電磁ポテンシャル： B ＝ rot A ，E ＝−gradφ を用いて，
F ＝ Q（ grad φ＋v × rot A ） ［ ニュートンの運動方程式 ］ ･････ [***]
成分だと，
m d2x ＝−Q ∂φ − y’ ∂Ay − ∂Ax − z’ ∂Ax − ∂Az dt2 ∂x ∂x ∂y ∂z ∂x
m d2y ＝−Q ∂φ − z’ ∂Az − ∂Ay − x’ ∂Ay − ∂Ax dt2 ∂y ∂y ∂z ∂x ∂y
m d2z ＝−Q ∂φ − x’ ∂Ax − ∂Az − y’ ∂Az − ∂Ay dt2 ∂z ∂z ∂x ∂y ∂z
と等価でなければなりません。したがって適当なラグランジュ関数を探し当てて，それをラグランジュ方程式 [**］に代入することでニュートンの方程式 [***] が導かれることを示せば良いわけです。
［３］ そこで，ラグランジュ関数を次のようにおけばよいことは簡単に確かめられます。
L ＝ m （ x’2＋y’2＋z’2 ） − Qφ ＋ Q（ x’Ax＋y’Ay＋z’Az ） ･････ （１） 2
まず，
∂L ＝ −Q ∂φ − x’ ∂Ax −y’ ∂Ay −z’ ∂Az ･･････････ （２） ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x
したがって，一般化運動量[#]のx成分は，
（ px ＝ ） ∂L ＝ mx’ ＋ QAx [#] より， ･････ （３） ∂x’
y成分，z成分も同様であり，それらをベクトルでまとめて表せば，
p＝mv＋QA ･････ （３）’
と書くことができます。また，
d ･ ∂L ＝ mx” ＋ Q ∂Ax x’＋ ∂Ax y’＋ ∂Ax z’＋ ∂Ax ･････ （４） dt ∂x’ ∂x ∂y ∂x ∂t
これら（２），（４） からラグランジュ方程式の x 成分について，
∂L − d ∂L ＝ 0 ∂x dt ∂x’
が確かめられます。y成分，z成分も同様です。 ハミルトニアンは，[*] に（１）と（３）’を用いて，
↓ （３）を用いて
H ＝ pxx’ ＋ pyy’ ＋ pzz’ − m （ x’2＋y’2＋z’2 ） − Q（ x’Ax＋y’Ay＋z’Az ）＋ Qφ 2
↓ もう一回 （３）を用いて
＝ m （ x’2＋y’2＋z’2 ） ＋ Qφ 2
＝ （ p − QA ）2 ＋ Qφ 2m
となります。
- 永久中断 -
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