９　可動端変分問題の応用
f-denshi.com  最終更新日：　　04/01/07
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１．光の反射

[1]　光の反射の法則を変分原理だけ(フェルマーの原理)から導いてみましょう。光は右下図でのAから入射して，点Bで反射し，C点へ抜けていくとします。反射点Bでの連続性から，

ｙ(t_B-0)＝ｙ(t_B+0)

Ｊ[ｙ(t)]＝

F[t,y(t),y’(t)]dt

Ｊ[ｙ(t)]＝ F[t,y(t),y’(t)]dt＋ F[t,y(t),y’(t)]dt

δＪ＝δ

Fdt＋δ

Fdt＝0

y＝g(t)

δ

Fdt＝[Fy’(g’−ｙ*’)＋F]δtB

δ

Fdt＝[Fy’(g’−ｙ*’)＋F]δtB

[Fy’(g’−ｙ’)＋F]δt_B-0＝[Fy’(g’−ｙ’)＋F]δt_B+0

Ｊ[ｙ(t)]＝

F[t，y(t)，y’(t)]dt

Ｊ[ｙ(t)]＝		(1＋y’2)1/2	dt
		V(x，t)

	1		(1＋y’2)1/2＋	(g’−ｙ’)ｙ’
	V(x，t)			(1＋y’2)1/2		tB-0

＝	1		(1＋y’2)1/2＋	(g’−ｙ’)ｙ’
	V(x，t)			(1＋y’2)1/2		tB+0

⇔

		1＋g’ｙ’			＝		1＋g’ｙ’
		(1＋y’2)1/2		tB-0			(1＋y’2)1/2		tB+0

ここで，各微分(傾き)は右図の角度α，β₁，β₂と下のように関係づけられるので：

↓　g’(t_B)＝tanα，y’(t_B-)＝tanβ₁，y’(t_B+)＝tanβ₂

		1＋tanαtanβ1		＝		1＋tanαtanβ2
		(1＋tan2β1)1/2				(1＋tan2β2)1/2

⇔

		1＋tanαtanβ1		＝		1＋tanαtanβ2
		｜cosβ1｜				｜cosβ2｜

ここまで来れば，高校生の問題ですね。結局，次式を用いて入射角θ₁，反射角θ₂に直すと，
　　　　　β₁−α＝π/2＋θ₁，　β₂−α＝π/2−θ₂　
反射の法則：

θ1＝θ2

２．光の屈折

[1]　1．光の反射の場合との違いは，入射光は領域�T，屈折光は領域�Uにあり，それぞれの領域で光の速度が異なり，

V(x，t)＝		V1　(領域�T)
		V2　(領域�U)

ということです。したがって，各領域で作用関数に添え字をつけてそれぞれF₁，F₂と区別する必要があります。

入射角θ₁，屈折角θ₂等の関係は右図の通りとします。作用積分は

Ｊ[ｙ(t)]＝ F1[t，y(t)，y’(t)]dt＋ F2[t，y(t)，y’(t)]dt

の極値条件は，

δＪ＝δ

F1dt＋δ

F2dt＝0

となります。反射の場合と同様に横断性の条件[#]が必要です。

[F₁y’(g’−ｙ’)＋F₁]δt_B-0＝[F₂y’(g’−ｙ’)＋F₂]δt_B+0

すなわち，

	1		(1＋y’2)1/2＋	(g’−ｙ’)ｙ’
	V1			(1＋y’2)1/2		tB-0

＝	1		(1＋y’2)1/2＋	(g’−ｙ’)ｙ’
	V2			(1＋y’2)1/2		tB+0

↓　g’(t_B)＝tanα，y’(t_B-)＝tanβ₁，y’(t_B+)＝tanβ₂，

		1＋tanαtanβ1		＝		1＋tanαtanβ2
		V1(1＋tan2β1)1/2				V2(1＋tan2β2)1/2

↓　β₁−α＝π/2＋θ₁，　β₂−α＝π/2＋θ₂　なる関係を用いて，

V2 　＝ 　sinθ2 V1 　sinθ1

これらの法則は電磁気学では，Bにおける電磁波の電場と磁場の接線成分の連続性などからも導くことができます　[#]。

つづく，･･･････

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