５　アインシュタインテンソル
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2.6 ビアンキの恒等式

【公式10 】　テンソルの共変微分の交換関係より，

[∇_j, ∇_i]∇_kA_s ＝ Rⁿ_kij∇_nA_s ＋ Rⁿ_sij∇_kA_n (2.314)

共変微分の順序を次のように換えて，

∇_k[∇_j,∇_i] A_s ＝ ∇_k(Rⁿ_sijA_n)
　　　　　　　　　　＝ (∇_kRⁿ_sij)A_n ＋ Rⁿ_sij∇_kA_s　　(2.315)

これら2 式の差をとると，第2項どおしがキャンセルされて，

[∇_k[∇_j,∇_i]]A_s ＝ ∇_k[∇_j,∇_i] A_s − [∇_j,∇_i] ∇_kA_s
　　　　　　　　　　　＝ (∇_kRⁿ_sij)A_n − Rⁿ_kij∇_nA_s　　(2.316)

添え字，i, j, k を順送りにした同様な式を書き下ろすと，

[∇_j[∇_i,∇_k]]A_s ＝ (∇_jRⁿ_ski)A_n − Rⁿjki∇_nA_s　　　　　　　 (2.317)

[∇_i[∇_k,∇_j]]A_s ＝ (∇_iRⁿ_sjk)A_n − Rⁿ_ijk∇_nA_s　　　　　　(2.318)

添え字，i, j, k を順送りにした上の3 式を辺々足すと，

　　{ [∇_k[∇_j,∇_i]]＋[∇_j[∇_i,∇_k]]＋[∇_i[∇_k,∇_j]] } A_s
　　　　＝ (∇_kRⁿ_sij＋∇_jRⁿ_ski＋∇_iRⁿ_sjk) A_n−(Rⁿ_kij＋Rⁿ_jki＋Rⁿ_ijk)∇_nA_s　(2.319)

この左辺はヤコビの関係式 [#] であって，(括弧を外してバラせばすぐに分かる。)

[∇_k[∇_j,∇_i]] ＋ [∇_j[∇_i,∇_k]] ＋ [∇_i[∇_k,∇_j]] ＝ 0         (2.320)

となります。したがって，等式(2.319) が任意のベクトルA_n，∇_nA_s について成立するためには，

が成り立つ必要があります。

２．アインシュタインテンソル

ビアンキの第2 恒等式を変形することで，アインシュタインテンソルを導くことができます。計量を用いてビアンキの第2 恒等式を次のように書き換えます。

∇_kRⁿ_sij ＋ ∇_jRⁿ_ski ＋ ∇_iRⁿ_sjk ＝ 0　　　　　　　　　　　　　 (2.325)

　　　　　　　　↓　　 g_nm をかけて (∇_k g_nm ＝ 0 に注意 )

∇_k g_nmRⁿ_sij ＋ ∇_j g_nmRⁿski ＋ ∇_i g_nmRⁿ_sjk ＝ 0　　　 (2.326)

　　　　　　　　↓　縮約

∇_kR_msij ＋ ∇_j R_mski ＋ ∇_i R_msjk ＝ 0 　　　　　　　　　　　　(2.327)

　　　　　　　　↓　　 g^sk　をかける

∇_k g^skR_msij ＋ ∇_j g^skR_mski ＋ ∇_i g^skR_msjk ＝ 0　　 (2.328)

　　　　　　　　↓　縮約

−∇_k R^k_mij− ∇_j R_mi ＋ ∇_i R_mj ＝ 0　　　　　　　　　　　 (2.329)

　　　　　　　　↓　　 g^mj　　をかける

−∇_k g^mjR^k_mij− ∇_j g^mjR_mi ＋ ∇_i g^mjR_mj ＝ 0 　　　　(2.330)

　　　　　　　　↓　縮約

−∇_kR^k_i− ∇_j R^j _i ＋ ∇_i R ＝ 0　　　　　　　　　　　　　　　 (2.331)

　　　　　　　　↓　縮約の添え字を m にそろえる，∇_i → ∇_mδ^m_i

−2∇_mR^m_i＋ ∇_mδ^m_i R ＝ 0　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2.332)

　　　　　　　　↓　−2 で割り，gⁱⁿをかける

∇m ( ginRmi−	1	δmiginR )＝ 0　　　　　　　　　　　　　　 (2.333)
	2

　　　　　　　　↓　縮約

∇m ( Rmn −	1	gmnR )＝ 0 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2.334)
	2

ここで，最後の(　　) の中の式を，アインシュタインテンソルと定義します。

アインシュタインテンソルについては後ほど改めて説明します。

３．リッチテンソル

リーマン曲率の添え字n とi とで縮約をとった

をリッチテンソルといいます

例　2次元球面のリッチテンソル

球面の計量と16個のリーマン曲率テンソルをもう一度書いておくと，

これらを利用して，

R_kj ＝ Rⁿ_knj ＝ R^θ_kθj ＋ R^φ_kφj 　　　　　　　　(2.348)

を計算すればよい。結果は，

＝						＝

		Rθθ		Rθφ		＝		Rθθθθ＋Rφθφθ		Rθθθφ＋Rφθφφ
		Rφθ		Rφφ				Rθφθθ＋Rφφφθ		Rθφθφ＋Rφφφφ

＝		0＋1		0＋0
		0＋0		sin2θ＋0

＝		1		0
		0		sin2θ

(2.349)

添え字を上げた場合も計算しておくと，

		Rθθ		Rθφ		＝		gθθRθθ＋gθφRφθ		gθθRθφ＋gθφRφφ
		Rφθ		Rφφ				gφθRθθ＋gφφRφθ		gφθRθφ＋gφφRφφ

＝		1/r02×1＋0×0		1/r02×0＋0×sin2θ
		0×1＋1/sin2θ×0		0×0＋1/r02sin2θ×sin2θ

＝		1/r02		0
		0		1/r02

(2.350)

さらに添え字を上げて，

		Rθθ		Rθφ		＝		gθθRθθ＋gθφRθφ		gθθRφθ＋gθφRφφ
		Rφθ		Rφφ				gφθRθθ＋gφφRθφ		gφθRφθ＋gφφRφφ

＝		1/r02×1/r02＋0×0		1/r02×0＋0×1/r02
		0×1/r02＋1/sin2θ×0		0×0＋1/r02 sin2θ×1/r02

＝		1/r04		0
		0		1/r04 sin2θ

まとめ

2.6.3 リッチスカラー

さらに，リッチテンソルから添え字を上にあげて，縮約すると，

例

2次元球面のリッチテンソル [#] からリッチスカラーを計算します。

R＝g^θθR_θθ＋g^θφR_θφ＋g^φθR_φθ＋g^φφR_φφ

＝	1	×1＋0×0＋0×0＋		1	×sin2θ
	r02			r02 sin2θ

＝	2
	r02

あるいは，

R＝g_θθR^θθ＋g_θφR^θφ＋g_φθR^φθ＋g_φφR^φφ

＝r02×	1	＋0×0＋0×0＋r02 sin2θ		1
	r04			r04 sin2θ

＝	2
	r02

または，混合テンソル(2.350) の対角和より，

R＝R^θ_θ＋ R^φ_φ

＝	1	＋	1
	r02		r02

＝	2
	r02

以上，3 通りの方法で求めてみました。なお，得られた結果ですが，2 次元球面に限らず，n 次元曲面のリッチスカラーR は，微分幾何学的な方法で計算される「ガウス曲率 K」(微分幾学参照) と次の関係，

R ＝ n(n − 1) K

　↓　球面の場合

R ＝ 2K

で結び付けられています。ちなみに。球面のガウス曲率は　1/r₀²　です。

また，2 次元のリーマン曲率テンソルとリッチスカラーとの関係

2R1212 ＝ R (g11g22−(g12)2)

　　　　　　　 ↓　球面の場合

2×R_θφθφ ＝ R ( g_θθg_φφ−(g_θφ)² )   

⇔　2×r02 sin2θ＝	2		（r02×r02 sin2θ−02)
	r02

例　　球面のアインシュタインテンソル

G^mn ＝ R^mn - 12g^mnR　　　　 (2.358)

を計算してみます。ここで，Rmn，gmn，R は以下の通りでした。

Gmn ＝

＝

Rθθ

Rθφ

−

1 2

gθθ

gθφ

×R

Rφθ

Rφφ

gφθ

gφφ

＝

1/r04

0

−

1 2

1/r02

0

×

2 r02

0

1/r04 sin2θ

0

1/r02 sin2θ

＝		0		0
		0		0

(2.359)

つまり，２次元球面のアインシュタインテンソルの成分はすべてゼロです。一般に，「２次元空間のアインシュタインテンソルは 0 である」　ことが分かっています。

2.7 アインシュタイン方程式

まず，最初にアインシュタインテンソルの定義を示しておきましょう。

Gmn ＝ Rmn −	1	gmnR 　　　　　　　　　　　　　(2.360)
	2

ここで，R^mn，および，R はミンコフスキー空間におけるリッチテンソルとリッチスカラー，また，g^mn は計量テンソルです。したがって，それらを組み合わせたアインシュタインテンソルとは一種の曲率テンソルです。そして，このアイシュタインテンソルとエネルギー運動量テンソルTmn を結びつけることて，アイシュタインの一般相対性理論におけるアインシュタイン方程式が次のように提示されます。

Gmn ＝	8πG	Tmn 　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2.361)
	c4

G は重力定数，c は光速度です。つまり，空間にエネルギーすなわち質量が存在するときに空間がどの程度曲がっているかを示しているのがアインシュタイン方程式というわけです。

概略は以上のとおりですが，ミンコフスキー空間とエネルギー運動量テンソルについてはAppendixに簡単に説明しています。

エネルギー運動量テンソルの共変微分　　　→　Appendix