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4-4 埋め込み・はめ込み | |
| f-denshi.com ［目次へ］ 最終更新日：21/07/06 校正中 | ||
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［１］ まず，部分多様体の定義を再掲しておきます。
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定義 部分多様体 m次元 Cr級多様体 Mの部分集合N (N⊂M) の任意の点p に対して，p を含む Nの座標近傍 (U；x1,x2,…,xn ) が存在して， N ∪ U＝｛ (x1,x2,…,xm )＝ (x1,x2,…,xn，0,…,0) ｝ と表すことができるとき，N を Mの n次元 Cr級部分多様体という。 |
難しい用語は含まれていませんが，多様体（位相空間）が自由に伸び縮みする (距離が入っていない) 空間 ということから注意すべき点がいくつかあります。
［２］ ここで，ある多様体N を多様体Mの部分集合に対応させることを考えてみましょう。
具体的に２次元 C∞級多様体N として，２次元ユークリッド平面 R2を考えると，
（A） x1軸 (N) ，
（B) 半径１の円 (N’)
はR2の1次元部分多様体であることは容易に分かります。
(Ｂ)の場合，x1＞0の領域であれば，そのx2成分を用いて，(x2，0) を局所座標とすればよい・・・。
そこで，多様体N としての直線R から部分集合 N，N’上への写像を直感的に考えてみます。
（Ａ）は埋め込みと呼ばれる写像なのですが，直線RをR2の x1軸にぴったりと合わせてやれば，位相も含めて1対１に重ね合わせられることは直感的にすぐに分かります。つまり，
f： t∈R ⇒ (t，0)∈R2
（Ｂ）は直線R を，
g： t∈R ⇒ (cost，sint)∈R2
によって写しており，直線がR2の円の中に巻きつくように収納されていることが分かりますが，g(x)＝g(x＋2π) の周期性があり，1対１写像ではありません。
よって，（Ａ）と（Ｂ）とでは，明らかに状況が違うので区別して考える必要があります。
局所的に制限してみれば，(B) も1対１写像になっているので，（Ａ）は（Ｂ）の特別な場合として分類することができます。
そこで，（Ｂ）のような写像が満たす最低限の条件として，はめ込みを定義します。
［３］
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定義 はめ込み 多様体NからMへのCr級写像 g が，すべての点p∈N において，gの微分 (dg)p： Tp(N) → Tf(p)(M) が1対１写像であるとき，g をNからMへのはめ込みという。 |
具体的には，(dg)p の行列表現が [*] ’で示したヤコビアン(Ｊg)p の階数がNの次元nであるとき，g をはめ込みといいます。g が局所的に１対１対応するための条件です。gは全域では1対１である必要はありません。
［４］ 特に多様体N の像がMの部分集合である曲線C(t) であれば，
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命題 Cr級写像g が曲線C(t) で表される多様体Mへのはめ込みであるための必要十分条件は，
が成り立つことである。 |
これを (B)について確かめてみると，ｔ∈R について
C(t)＝ g(t)＝ g1(t) ＝ cos t ⊂R2 g2(t) sin t
であるから，
(Jg)p＝
∂g1 (p) ∂t ＝ −sin t
∂gn (p) ∂t cos t
となって，これはすべての t ∈Rに対して 0 とならない（階数は2）。つまり，（B)はめ込みです。
（A）も ｔ∈R について，
f(t)＝ f1(t) ＝ t f2(t) 0
(Jg)p＝ 1 ≠0 0
なので，これははめ込みです。またこれは埋め込みでもあることは後で示します，
［５］ 次に埋め込みの定義です。
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定義 N からM へのはめ込み ｆ の像f(N) に M の相対位相 [#] を入れて，ｆ が同相写像であれば，f
を埋め込みという。 |
(B)の場合で確かめると，
f： t∈R ⇒ (t，0)∈R2
が通常の実数の位相において，同相写像であることは自明ですね。
［６］ 別の定義です。
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定義 n次元Cr級多様体N から m次元Cr級多様体 M への写像 f ： N ⇒ M が Cr級微分同相写像であるとき，f(N)をCr級の埋め込みという。
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「多様体Nの埋め込みは，多様体Nと同じ次元かそれ以上の次元の多様体 (n≧m) でなければならない」 ことは定義からすぐに分かります。
［７］ 部分多様体と埋め込みとの関係
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命題 m次元 Cr級多様体M の n次元 Cr級部分多様体 [#] を N とするとき，包含写像， i ： N ⇒ M はCr級の埋め込みである。 |
要するに，N を f で M に埋め込むことができれば，f(N) は M の部分多様体となっているということです。
［８］ ２次元多様体のはめ込み・埋め込みの例をあげておきます。
| ２次元多様体 同色矢印の辺を同一視 |
2次元 | 3次元 | 4次元 | ||||
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⇒ |  |
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| 円柱側面 | R2へ埋め込み可能 | ||||||
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⇒ |  |
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| メビウスの帯 | R3へ埋め込み可能 | ||||||
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⇒ | この動画 で見える化 (外部サイト) |
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| クラインの壷 | R3へはめ込み可能 | R4へ埋め込み可能 | |||||
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 ボーイの曲面 (外部サイト) |
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| 射影平面RP2 | R3へはめ込み可能 | R4へ埋め込み可能 |
