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Appdix 2 ２次元正規分布 |
| f-denshi.com 最終更新日：11/08/16 (仮) | |
| [1] ２次元確率変数 X ＝ |  |
X |  |
が次の同時確率密度関数にしたがうとき，２次元正規分布という。 |
| Y |
| f(x,y)＝ | 1 | exp |  |
-1 | |
|
x−μ1 | |
2 | −2ρ | |
x−μ1 | |
|
y−μ2 | |
＋ | |
y−μ2 | |
2 |  |
|
2(1-ρ2) | σ12 | σ1 | σ2 | σ22 |
| ＝ | 1 | exp | |
-1 | t(x−μ)σ-1(x−μ) | |
|
| 2π|σ|1/2 | 2 |
ただし，1-ρ2＞0とし，ベクトルx，μ，および，共分散行列σとその逆行列σ-1は，
| x ＝ | |
x | |
[実現値]， μ＝ | |
μ1 | |
＝E(X) |
| y | μ2 |
| σ＝ | |
σ12 | ρσ1σ2 | |
，σ-1 ＝ |
|
|
σ22 | -ρσ1σ2 | |
|||
| ρσ1σ2 | σ22 | -ρσ1σ2 | σ12 |
また，txは行列(ベクトル)xの転置行列(ベクトル)である。
ここで，f(x,y)の指数の肩の部分を(＝正定数)とおくと，一般的な楕円の方程式となっている。
このように定めておけば，共分散，相関係数は[#]，
C(X,Y)＝ρσ1σ2
Corr(X,Y)＝ρ
となることは容易に確かめられる(演習)。
[２］ この定義は条件付確率分布とする積で，f(x,y)＝f1(x)f2(y|x) と表したとき，
f1(x)＝ 1 exp -1 x−μ1 2
2π σ1 2 σ1
f2(y|x)＝ 1 exp -1 y−μ2−ρ(σ2/σ1)(x−μ1) 2
2π(1-ρ2) σ2 2
(1-ρ2) σ2
すなわち，
f1(x)＝N(μ1,σ12)
f2(y|x)＝N(μ2＋ρ(σ2/σ1)(x−μ1)，(1-ρ2)σ22)
と２つの正規分布の積となるように定めているともみなせる。
[３] 特に，２つの確率変数に相関がないρ＝0のときは，
f2(y|x)＝N(μ2,σ22)＝f2(y)
であるから，f(x,y)＝f1(x)f2(y)＝N(μ1,σ12)N(μ2,σ22) に帰着する。
下には，σ1＝σ2＝1である２次元標準正規分布のρ＝-0.9,-0.5,0,0.5,0.9における概観を示した。
[４] 以上は，n次元へも自然に拡張することができて[#]，
|
ｎ次元確率変数が確率密度関数，
に従うとき，n次元正規分布と定義する。ここで，
このとき，確率変数XはNn(μ，σ)に従うともいう。 |
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以上，やや天下り的であるが，非常に美しい対称性があるので納得してもらって次へ進む。
[１] １次元正規分布の積率母関数，
M(t)＝E[exp(tX)] ＝exp 1 σ2t2＋μt 2
に対して，２次元積率母関数を
M(s,t)＝E[exp(sX＋tY)]
とする。これを条件付確率として計算を進めると[#]，
＝EX[EY[exp(sX＋tY)|X]] ←EX[ ]とは確率変数Xについて平均を取るという意味を強調している。
＝EX[exp(sX)EY[exp(tY)|X]]
↓ N(μ2＋ρ(σ2/σ1)(x−μ1)，(1-ρ2)σ22)の母関数を用いて[#]
＝ EX [ exp(sX)exp[(μ2＋ρ σ2 (X−μ1))t＋ 1 (1−ρ2)σ22t2] ] σ1 2
＝ exp [ μ1s＋μ2t＋ 1 (1−ρ2)σ22t2] EX [ exp[(s＋ρ σ2 t) (X−μ1) ] ] 2 σ1
↓ X-μ1〜N(0,σ12) のとき，EX(k(X-μ1))＝exp[k2σ12/2] なので，(k=s＋ρσ2t/σ1)
＝ exp [ μ1s＋μ2t＋ 1 (1−ρ2)σ22t2] exp [ 1 (s＋tρσ2/σ1)2σ12 ] 2 2
＝ exp [ μ1s＋μ2t＋ 1 σ12s2＋ρσ1σ2st＋ 1 σ22t2] 2 2
特に，ρ＝0ならば，
＝ exp [ μ1s＋ 1 σ12s2＋μ2t＋ 1 σ22t2 ] 2 2
＝M(s)･M(t)
となる。
C(X,Y)＝ρσ1σ2 の証明
