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20６ 相関関数 |
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| f-denshi.com 更新日： まだ，書きかけ |
相関関数
［１］ 絶対可積分な実関数 h(x)，g(x)にたいして次の積分値を，
| 1 |
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2π |
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h(x＋u)g(u)du ≡C {h(x)，g(x)}
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h(x)とg(x)の相関といいます。畳み込み[#] と比較すると，h(x−u)の符号が−から＋へ換わっています。
［２］ たたみ込みの定理(１)の証明[#]と同じように計算すれば，
| F [C {h(x)，g(x)}] ＝ |
| 1 |
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2π |
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| 1 |
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2π |
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h(x＋y)g(y)dy |
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e-ikxdx |
･････
＝F [h(x)]･F [g(-x)]
＝ H(k)･G*(k)
ただし，
F [g(-x)]＝ G(-k)
| ＝ |
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g(-x)e-i kxdx ＝ |
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g(x)ei kxdx ＝ [ |
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g(x)e-i kxdx]* |
＝G*(k)
| H(k)＝ |
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h(x)e-i kxdx |
つまり，H(k)，G(k)はh(x)，g(x)のフーリエ変換で，G*(k)はG(k)の複素共役です。
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････
物理的な意味について： f(x)とg(-x)の畳み込み
････
追加書き込み
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特に，g(x)自身の相関，C {g(x)，g(x)}は自己相関と呼ばれ，そのフーリエ変換について，
F [C {g(x)，g(x)}] ＝｜G(k)｜2
が成り立ちます。
［３］ さて，次に｜G(k)｜2 をすべてのk についての積分を考えます。
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｜G(k)｜2 dx |
ここで，G(k) が g(x) をフーリエ変換した時の展開係数に相当することを思いだすと，｜G(k)｜2の積分は，
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G*(k)G(k)dk |
| ＝ |
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2π |
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g(x) eikxdx |
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| 1 |
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2π |
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g(y)e-ikydy |
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dk |
| ＝ |
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g(x)g(y) |
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e-ik(x-y)dk |
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dydx |
| ＝ |
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g(x)g(y)δ(x−y)dydx |
⇒ δ関数とフーリエ変換についてはこちら[#] |
| ＝ |
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|g(x)|2dx |
と計算できます。すなわち，
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｜g(x)｜2 dx ＝ |
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|G(k)|2dk |
［パーセバルの定理］ |
これは有名な関係式で，パーセバルの定理と呼ばれています。これはあるベクトルc が正規直交基底で，
c ＝ c1e1 ＋c2e2 ＋c3e3
と表されているならば，そのベクトルの大きさの２乗は，
|c|2 ＝ |c1e1＋c2e2 ＋c3e3|2
＝ c12＋c22＋c32
と計算できることに対応しています。
［４］ つづく ･････
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