9-1　多変数関数のテーラー展開
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１．テーラー展開

[１]　n 変数関数　f(x₁,x₂,･･･,x_n) についてのテーラーの定理です。

[証明] 略

　ほとんどの人にとって重要なのは2変数，3変数の場合なので，それを具体的に書いておきましょう。

[２]　２変数の場合　

f(a+h,b+k)＝ f(a,b)　　

＋	1		h	∂f(a,b)	＋k	∂f(a,b)
	1！			∂x		∂y

＋	1		h2	∂2f(a,b)	＋2hk	∂2f(a,b)	＋k2	∂2f(a,b)
	2！			∂x2		∂x∂y		∂y2

＋　　･････

＋	1		h	∂	＋k	∂		r	f(a+θh,b+θk)
	r！			∂x		∂y

⇒　　
　　　Δf ＝ f(a+h,b+k)−f(a,b)
　　　　 ＝ hf_x(a,b)＋kf_y(a,b)＋(1/2)[h²f_xx(a+θh,b+θk)＋2hkf_xy(a+θh,b+θk)＋k²f_yy(a+θh,b+θk)]

[３]　３変数の場合

Δf ＝ f(x+Δx，y＋Δy，z＋Δz)−f(x,y,z)

＝	1		Δx	∂f(x,y,z)	＋Δy	∂f(x,y,z)	＋Δz	∂f(x,y,z)
	1！			∂x		∂y		∂z

＋	1		Δx2	∂2f(x,y,z)	＋Δy2	∂2f(x,y,z)	＋Δz2	∂2f(x,y,z)
	2！			∂x2		∂y2		∂z2

＋	2ΔxΔy	∂2f(x,y,z)	＋2ΔyΔz	∂2f(x,y,z)	＋2ΔzΔx	∂2f(x,y,z)
		∂x∂y		∂y∂z		∂z∂x

        ＋ 　･････

＋	1		Δx	∂	＋Δy	∂	＋Δz	∂		r	f(x＋θΔx,y＋θΔy,z＋θΔz)
	r！			∂x		∂y		∂z

２．　多重極子展開

[１]　３次元ユークリッド空間での距離 r の逆数　r ^-1

f(x,y,z) ＝ (x²＋y²＋z²)^-1/2　

のテーラー展開は応用上，非常に重要です。 ２次の展開項まで丁寧に求めてみましょう。

　f(x,y,z) ≡ f(r)，　f(x+Δx，y+Δy，z+Δz) ≡ f(r;Δr )

と書くことにします。すると，テーラーの展開は

f(r＋Δr)−f(r )
　　　　　　　＝ f_x(r )Δx＋f_y(r )Δy＋f_z(r )Δz
　　　　　　　 ＋(1/2)[f_xx(r )Δx²＋f_yy(r )Δy²＋f_zz(r )Δz²
　　　　　　　　　　　　　　＋2{f_xy(r )ΔxΔy＋f_yz(r )ΔyΔz＋f_zx(r )ΔzΔx }]
　　　　　　　 ＋(1/3!)[･･･]　
               ＋　　････

[２]　ここで，それぞれの微分，

f_x(r) ＝ (-1/2)(x²＋y²＋z²)^-3/2(2x)＝−x(x²＋y²＋z²)^-3/2
f_y(r) ＝ (-1/2)(x²＋y²＋z²)^-3/2(2y)＝−y(x²＋y²＋z²)^-3/2
f_z(r) ＝ (-1/2)(x²＋y²＋z²)^-3/2(2z)＝−z(x²＋y²＋z²)^-3/2

及び，

f_xx(r) ＝ -(x²＋y²＋z²)^-3/2＋3x²(x²＋y²＋z²)^-5/2
f_yy(r) ＝ -(x²＋y²＋z²)^-3/2＋3y²(x²＋y²＋z²)^-5/2
f_zz(r) ＝ -(x²＋y²＋z²)^-3/2＋3z²(x²＋y²＋z²)^-5/2
f_xy(r) ＝　　　　　　　     3xy(x²＋y²＋z²)^-5/2
f_yz(r) ＝　　　　　　　     3yz(x²＋y²＋z²)^-5/2
f_zx(r) ＝　　　　　　　     3zx(x²＋y²＋z²)^-5/2

を代入すると，

f(r＋Δr )−f(r )＝−(xΔx＋yΔy＋zΔz)r^-3
　　　　　　　     ＋(1/2)[(3x²-r²)Δx²＋(3y²-r²)Δy²＋(3z²-r²)Δz²
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋6xyΔxΔy＋6yzΔyΔz＋6zxΔzΔx]
　　　　　　　     −　････

同様に

f(r−Δr )−f(r )＝　(xΔx＋yΔy＋zΔz)r^-3
　　　　　　　　　 ＋(1/2)[(3x²-r²)Δx²＋(3y²-r²)Δy²＋(3z²-r²)Δz²
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋6xyΔxΔy＋6yzΔyΔz＋6zxΔzΔx]
　　　　　　　　　 −　･･･

きれいに書くと，

以上，テーラー展開の計算練習でした。　　　　　　　　　

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