Appendix 3　ベキ零行列
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ベキ零行列G　(Gs＝O ，∃s)の固有方程式が，ΦG(λ)＝|λE−G|＝λd　であること，つまり，固有値がすべて0 であることの証明です。

［１］ まず，次の命題から

命題：

行列Tの固有多項式を，

ΦT(λ) ＝ (λ−λ1)(λ−λ2)･･･(λ−λn)

とする。このとき，任意の多項式 g(t) において，t → T と機械的に置き換えた行列 g(T) の固有多項式は，

Φg(T)(λ) ＝ (λ−g(λ1))(λ−g(λ2))･･･(λ−g(λn))
である。つまり，固有値は， g(λ1),g(λ2),･･･,g(λn)である。

特に，　g(t) ＝ ts　ならば，
ΦTs(λ)＝(λ−λ1s)(λ−λ2s)･･･(λ−λns) ；　固有値：λ1s，λ2s，･･･，λns

［２］　［証明］

線形演算子T は，ユニタリ演算子Uを用いて

U-1TU＝U*TU＝
λ1 ＊
λ2
O ：
λn

と三角行列に変換できます[#]。すると(１)を両辺 r 乗すれば，( r ： 任意の非負整数 )

(左辺)r ＝ (U-1TU)r ＝ U-1TUU-1TU･････UU-1TU ＝ U-1TrU 　　　　　 ← g(t) ＝ tr の場合です。

一方，右辺は，

(右辺)r ＝＝
λ1r ＊'
λ2r
O ：
λnr

のように対角線上に各固有値の r 乗が並んだ三角行列となります。
これより一般的に，任意の多項式 g(t)＝a1t+a2t2+･･･+antn において，t → T とした g(T) [#] について，

g(U-1TU)＝U-1g(T)U
         ＝U-1(a1T+a2T2+･･･+anTn )U
         ＝a1U-1TU +a2U-1T2U +　･･･　+anU-1Tn U
        ＝
a1λ1 ＊
a1λ2
O ：
a1λn
＋
a2λ12 ＊
a2λ22
O ：
a2λn2
＋・・・＋
anλ1n ＊
anλ2n
O ：
anλnn
        ＝
g(λ1) ＊
g(λ2)
O ：
g(λn)

が成り立つことがわかります。

［３］　そこで，

定理：
　　　　「 ベキ零行列G の固有値はすべて0 である。」

上の命題において，T＝G　 をベキ零行列 ( Gs ＝O，G の固有値：λ1,λ2,･･･,λn ) とすると，

O ＝ U-1OU ＝ U-1GsU ＝
λ1s ＊
λ2s
O ：
λns

すなわち，
         　　λ1s＝0，λ2s＝0，･･･，λns＝0　　⇒   λ1＝0，λ2＝0，･･･，λn＝0

であることがわかります。(逆もハミルトン・ケーリーの定理から成立)

すなわち，G の固有値はすべて 0 であり，その固有方程式は，

ΦG(λ) ＝ λn ＝ 0

でなければいけません。

［４］

つづく　・・・


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