Appendjx 3　２階テンソルのいろいろ
f-denshi.com  最終更新日：03/08/02

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１．　２階テンソルのいろいろ

［１］　２階テンソルは Appendjx 2 で見たように双線形関数を用いて定義するのがもっとも基本的ですが，応用でよく使われる２階テンソルは必ずしもそのような形で明示されているとは限りません。座標変換（基底変換）に対して成分がテンソル変換と同じように変換される重要な写像［＝２階テンソル］としては他に次のようなものがあります。

写像：V ⇒ R　（双線形性） （１）写像：V ⇒ V　（線形写像） （２）テンソル積　V ⇒ V 変換側
ベクトルx，y
⇒　スカラーT（x,y ）		 ベクトルx
⇒　ベクトルT（x ）		 ベクトルx
⇒　ベクトルT（x ）
T（x,y ）＝Tjkxjyk
Tjk≡T（ej,ek）		 T（x ）＝Ty
T（ek）＝Σ Tｊkej		 T（x）＝a（b ･x ）
Tjk≡ej・T（ek）＝ajbk		 Tjk＝ΣΣpjspktT'st
T'jk＝ΣΣpsjptkTst
２重線形性
T（ax＋bz,ｙ ）＝aT（x,ｙ ）＋bT（z,ｙ ）		 線形性　
T（ax＋bｙ ）＝aT（x ）＋bT（ｙ ）		 線形性　
T（ax＋bｙ ）＝aT（x ）＋bT（ｙ ）

（１）線形写像（行列）の座標変換

［２］　ベクトル空間 V から V への線形写像 T ： ［ベクトルx　∈V  ⇒  ベクトルy  ∈ V ］ ：

y ＝T（x ）　

も２階テンソルとなります。これは，V の正規直交基底｛e1，e2，e3 ｝に対して，

T（e1）＝T11e1＋T21e2 ＋T31e3
T（e2）＝T12e1＋T22e2 ＋T32e3
T（e3）＝T13e1＋T23e2 ＋T33e3

のようにテンソル成分を Tjk を定義すれば，写像，

T：　x ＝ ｘ1ｅ1＋ｘ2ｅ2＋ｘ3ｅ3 ＝ x1 　  ⇒  　y ＝ y1ｅ1＋ｙ2ｅ2＋y3ｅ3 ＝ y1
x2 y2
x3 y3

は行列の演算規則を使って，

y ＝ T（x ）
   ＝T（ｘ1ｅ1＋ｘ2ｅ2＋ｘ3ｅ3）
   ＝ｘ1T（e1）＋ ｘ2T（e2）＋ｘ3 T（e3）
　 ＝ ｘ1(T11e1＋T21e2 ＋T31e3 )＋ｘ2(T12e1＋T22e2 ＋T32e3)＋ｘ3（T13e1＋T23e2 ＋T33e3）
  ＝ ｘ1 T11 ＋ｘ2 T12 ＋ｘn T1n
T21 T22 T2n
T31 T32 T3n
  ＝ ｘ1T11＋ｘ2T12＋ｘ3T13
ｘ1T21＋ｘ2T22＋ｘ3T23
ｘ1T31＋ｘ2T32＋ｘ3T33
  ＝ T11 T12 T13 ｘ1 　＝ Tx      ［座標変換前］
T21 T22 T23 ｘ2
T31 T32 T33 ｘ3

と書けます。　ただし，T は Tjk を j 行 k 列成分とする正方行列。　

さて，新しい正規直交基底への座標変換によって，　y　→　y '，　x　→x '　，　T　→　T'，　ただし，

y'＝　T'x '　　［座標変換後］

と表せるとします。いま，座標変換を，x ＝Px' （つまり，x' ＝P-1x，y' ＝P-1y ）とすれば，これを［座標変換後］に代入し，左からPをかければ，

P-1y ＝T'P-1x　　⇒　y　＝PT'P-1x　　

となります。これを座標変換前と比較すれば，

行列の座標変換式：

　　　　　　T＝PT'P-1　　または，　T' ＝ P-1TP　　　　　（　x ＝Px' ）

でなければならないことがわかります。これを成分で書く[#]と，　　

Tjk　＝pjsT'st tptk　＝pjspktT'st　　　　　；　tptk　＝pkt

となり，Tjkはテンソル変換[#]を受けることがわかります。

（２）テンソル積の座標変換

［３］　テンソル積の定義

２階テンソルは次に述べるテンソル積によってもつくられます。テンソル積とは，ベクトルa，b　∈V　が与えられたとき，
写像 T：　x　→　ｙ　を，

y ＝ T（x ）＝a（b ･x ）

と定義するとき，この写像 T（x ） を

a b（x ）

と書いて，「 ベクトルa，b のテンソル積 」と定義します。これは行列，ベクトルの演算で具体的に表すと，

T（x ） ＝a （b ･x ）＝ a1 （b1x1＋b2x2＋b3x3）＝ a1 （b1，b2，b3） x1
a2 a2 x2
a3 a3 x3
         ＝ a1b1  a1b2  a1b3 x1 ＝Tx
a2b1  a2b2  a2b3 x2
a3b1  a3b2  a3b3 x3

と書くことができます。これは，

Tjk≡ajbk

を成分とする行列 T による線形写像であることを意味しています。これがテンソル変換を受けることはベクトルの座標変換が，

aj ＝ Σpjsa's　および，　bk ＝ Σ pktb't　

で与えられるとき，

Tjk ＝ ajbk ＝ Σ pjsa'sΣpktb't　＝ ΣΣpjspkta'sb't ＝ pjspktT'st

に従って座標変換されることからわかります[#]。

なお，V の正規直交基底｛e1，e2，e3 ｝に対して，

ej・T（ek）＝ej・a（b ･ek）＝（ej・a ）（b ･ek）＝ajbk

　テンソル不変量

テンソル成分から計算される量の中で座標に依存しないものをテンソル不変量と言います。

（１）トレース積：　　→　T　はユニタリ行列で三角行列に変換される → すべての固有値の積＝トレース積
　　　　

（２）行列式：
　座標変換式　　T' ＝ P-1TP　より，

｜T' |＝｜P-1|｜T｜｜P｜＝｜P-1|｜P｜｜T｜＝｜T｜

ここで，P-1P＝ E の行列式を考えれば，｜P-1|｜P｜＝｜E｜＝1　であることを使っています。

成分の２乗和

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