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Appendix 4 F2係数のn次方程式 | |
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Ｆ2の二項方程式
x2＝0
x2＝1
はそれぞれ0、1を根としてもちます。では、b≠0として
x2＋bx+c ＝ 0 ・・・・・・・・ [*]
を考えます。c ＝ 0 ならば、ｘ（x＋1）＝ 0 より、x＝0、1 が根となります。
c＝1 のとき、
x2＋x＋1 ＝ 0
はＦ2に解をもちません。実際、02＋0＋1 ＝ 1、 12＋1＋1 ＝ 1 となって0も1も[*]の解となりえません。
そこで、16章[#]と同じように、この方程式の根αを用いて拡大体Ｆ22
Ｆ22＝｛a＋bα｜a、b∈Ｆ2、α ： α2＋α＋1＝0 の根｝
を構成しましょう。 α2＝−α−1＝α＋1 に注意して（-1＝1）、演算：＋、−、×、÷ を以下のように定義します。
（a＋bα）＋（c＋dα）＝（a＋c）＋（b＋d）α
（a＋bα）−（c＋dα）＝（a−c）＋（b−d）α
（a＋bα）×（c＋dα）＝ac＋（ad＋bc）α＋bdα2 ←α2＝α＋1
＝（ac＋bd）＋（ad＋bc＋bd）α
（a＋bα）÷（c＋dα）＝（ac＋ad＋bd）＋（ad＋bc）α、 ただし、c＋dα≠0
もしくは、×の定義より、
（a＋bα）の逆元を、（a＋b）＋bα
としてもいいでしょう。
具体的には、Ｆ4の元は、
Ｆ22＝｛ 0、1、α、α＋1 ｝
ですが、これは、
0
α
α2＝α＋1
α3＝α（α＋1）＝α2＋α＝1
の４つ｛0、1、α、α2｝でもあります。すなわち、Ｆ4の0以外元すべてがαを累乗するとでてきます。このαをＦ4（＝Ｆ22）の原始元と言います。 （これはＦp（p：素数）の原始根と同様な働きをしてます。）
また、この原始元のみたす方程式、α2＋α＋1＝0 を Ｆ22 の原始方程式と言います。
ここでの議論（構成法）は n＞2 のＦ2係数のn次方程式に拡張できることは明らかでしょう。
n≧2の場合の原始方程式を紹介しておきます。
α2＋α＋1＝0 ：Ｆ22
α3＋α＋1＝0 ：Ｆ23
α4＋α＋1＝0 ：Ｆ24
α5＋α2＋1＝0 ：Ｆ25
α6＋α＋1＝0 ：Ｆ26
α7＋α＋1＝0 ：Ｆ27
α8＋α4＋α3＋α2＋1＝0 ：Ｆ28
α4＋α＋1＝0 を満たすαがＦ24の原始元であることは、
| α＝ | α |
| α2＝ | α2 |
| α3＝ | α3 |
| α4＝−α−１＝ | α＋1 |
| α5＝α・α4＝α（α＋1）＝ | α2＋α |
| α6＝α・α5＝α（α2＋α）＝ | α3＋α2 |
| α7＝α・α6＝α（α3＋α2）＝ | α3＋α＋1 |
| α8＝（α4）2＝（α＋1）2＝ | α2＋1 |
| α9＝α・α8＝α（α2＋1）＝ | α3＋α2 |
| α10＝（α5）2＝（α2＋α）2＝α4＋α2＝ | α2＋α＋1 |
| α11＝α・α10＝α（α2＋α＋1）＝ | α3＋α2＋α |
| α12＝α・α11＝α（α3＋α2＋α）＝ | α3＋α2＋α＋1 |
| α13＝α・α12＝α（α3＋α2＋α＋1）＝α＋1＋α3＋α2＋α＝ | α3＋α2＋1 |
| α14＝α・α13＝α（α3＋α2＋1）＝α＋1＋α3＋α＝ | α3＋1 |
| α15＝α・α14＝α（α3＋1）＝α＋1＋α＝ | 1 |
特に、原始元を用いれば、
αm×αn＝αm＋n (mod 2n）
となっていることも確かめられます。